Differenza di potenziale

[enigmagame]

Una carica \( \displaystyle {Q}={{10}}^{{-{9}}} \)C è ripartita entro una sfera di raggio \( \displaystyle {R}={10} \)cm in modo che la densità volumica \( \displaystyle \rho \) sia proporzionale alla distanza r dal centro (ossia \( \displaystyle \rho={a}{r} \) dove a è una costante). Si chiede la differenza di potenziale tra il centro e la superficie della sfera.
Ora il mio dubbio non stà nel calcolo della differenza di potenziale, ma nel calcolo della carica q rispetto alla distanza dal centro. Se non erro, \( \displaystyle \rho \) è la densità di carica per unità di volume. Ciò che viene fatto è questo:
\( \displaystyle {q}={\int_{{0}}^{{r}}}\rho{\left({r}'\right)}{4}\pi{{r}}^{{'{2}}}{d}{r}' \) dove \( \displaystyle \rho{\left({r}'\right)}={a}{r}' \)
da cui \( \displaystyle {q}={\int_{{0}}^{{r}}}{4}\pi{{r}}^{{'{3}}}{d}{r}'=\pi{a}{{r}}^{{4}} \)
Il mio dubbio è il seguente, perchè se si tratta di carica nell'unità di volume, non viene utilizzato il volume della sfera \( \displaystyle \frac{{4}}{{3}}\pi{{r}}^{{3}} \) ma la sua superficie \( \displaystyle {4}\pi{{r}}^{{2}} \)?
Grazie!

[drcave]

ehm... questo è anche un mio problema... come calcoli la differenza di potenziale visto che la densità di carica varia?

[enigmagame]

Questo viene proprio risolto dalla formula che ho postato, su cui rimane il dubbio.
Alla fine ottieni la carica in base alla distanza dal centro della sfera ed alla costante a.
Poi procedi normalmente...

[drcave]

Proprio ieri ho chiesto spiegazioni ad un assistente del mio prof su un caso del genere, ma lui andava d fretta e mi ha detto una dritta.
Il mio problema era simile. Mi dava R =raggio e \( \displaystyle \rho_{{0}} \) e mi diceva che \( \displaystyle \rho=\rho_{{0}}\frac{{r}}{{R}} \).

Il prof mi ha detto che non potevo considerare l'elemento volume perchè lì cambia, ma dovevo considerare la carica su una superficie di raggio \( \displaystyle {R}={0} \) e poi considerare una superficie sempre maggiore per poi integrare da \( \displaystyle {0} \) a \( \displaystyle {R} \) in modo da sommare tutte le circonferenze comprese contenenti carica diversa. Credo d aver capito questo, ma non sono riuscito a formulare il pensiero in linguaggio matematico.

Forse può esserti d'aiuto.

[enigmagame]

Si, cosi è sensato, dovrebbe essere proprio cosi. La nostra carica varia a seconda della distanza dal centro della sfera, quello che si fa è suddividere la sfera in tante superifci sferiche, si va a calcolare la carica su oguna di queste superfici, e quindi la carica è distribuita superficialmente, alla fine si sommano tutti i contributi...
Cosi la cosa, se non sbaglio io, è sensata e il mio dubbio scompare...

[drcave]

ed io come potrei fare visto che non ho la carica totale dentro la sfera?

[enigmagame]

Ma quella la devi ricavare, penso sia simile al mio. Io avevo soltanto scritto che la densità volumetrica era proporzionale alla distanza r dal centro della sfera. La proporzione era \( \displaystyle \rho={a}{r} \) con a costante. Tu da quello che vedo hai solo una proporzione differente, ma il resto è uguale. O sbaglio?

[adaBTTLS]

nel passare dalla sfera di raggio r alla sfera (concentrica) di raggio r+dr di quanto aumenta il volume? aumenta di un "guscio" di superficie \( \displaystyle {4}\pi\cdot{r} \) e spessore \( \displaystyle {d}{r} \). è chiaro? riesci a collegarlo con la spiegazione del tuo professore?
ciao.

[drcave]

Credo di aver capito... in linguaggio matematico sarebbe questo?

\( \displaystyle {q}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\frac{{\rho_{{0}}{r}}}{{{R}}}{4}\pi{{r}}^{{2}}{d}{r}=\frac{{{4}\pi\rho_{{0}}}}{{R}}{\int_{{{0}}}^{{{R}}}}{{r}}^{{3}}{d}{r}=\frac{{{4}\pi\rho_{{0}}}}{{R}}\frac{{{R}}^{{4}}}{{4}}=\pi\rho_{{0}}{{R}}^{{3}} \)

che almeno dimensionalmente è una carica...
\( \displaystyle {d}{q}=\pi\rho_{{0}}{{r}}^{{3}}{d}{r} \)

Poi mi calcolo il potenziale come:
\( \displaystyle \Delta{V}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\frac{{{k}_{{e}}{d}{q}}}{{r}}{d}{r} \)


\( \displaystyle \Delta{V}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}{k}_{{e}}\pi\rho_{{0}}{{r}}^{{2}}{d}{r} \)

che dimensionalmente non credo sia potenziale... sbaglio da qualche parte?

[adaBTTLS]

non capisco...
il mio intervento precedente voleva solo significare qualcosa di molto generico sul concetto di integrazione. l'integrale definito di una funzione in una variabile immagini tu sia abituato a vederlo come area... la funzione integranda la vediamo come lunghezza di un segmento (numericamente l'ordinata) e per ottenere un'area (bidimensionale) "moltiplichiamo" per il differenziale dx (la funzione è espressa in termini di x). la funzione integranda dimensionalmente è sempre "minore" dell'integrale... per ottenere il volume della sfera integrando al variare di r la funzione integranda deve essere una superficie (moltiplicata per dr diventa un volume infinitesimo, integrata tra due estremi diventa un volume finito).
ora io tornerei all'espressione che avevi indicato nel primo post: la densità dipende linearmente da r, la carica è densità per volume, integrando in dr la funzione integranda dovrà essere dimensionalmente densità (volumica) * superficie: nell'ultimo integrale del primo post manca una \( \displaystyle {a} \).
il testo ti dice che a è costante, ma non ti dice che è a-dimensionale, anzi, sapendo che \( \displaystyle \rho={a}\cdot{r} \) e che dimensionalmente la densità è carica/volume, puoi ricavarti le unità di misura di a: \( \displaystyle {\left[{a}\right]}={\left[{C}\cdot{{m}}^{{-{4}}}\right]} \). svolgendo l'integrale dovresti trovarti anche il valore numerico di a: \( \displaystyle {\pi}^{{-{1}}}\cdot{{10}}^{{-{5}}} \) (sostituendo i valori di Q e di R. provo a scrivere i passaggi, anche se non so se mi ritrovo con le formule:
\( \displaystyle {Q}={\int_{{0}}^{{R}}}{a}{r}\cdot{4}\pi\cdot{{r}}^{{2}}\cdot{d}{r}={4}\pi\cdot{a}\cdot\frac{{{R}}^{{4}}}{{4}}=\pi\cdot{a}\cdot{{R}}^{{4}} \)
\( \displaystyle {{10}}^{{-{9}}}{C}=\pi\cdot{a}\cdot{{\left({{10}}^{{-{1}}}{m}\right)}}^{{4}} \)
\( \displaystyle {{10}}^{{-{5}}}{C}=\pi\cdot{a}\cdot{{m}}^{{4}} \)
\( \displaystyle {a}={\pi}^{{-{1}}}\cdot{{10}}^{{-{5}}}\cdot{C}\cdot{{m}}^{{-{4}}} \)
OK? ciao.