Differenza divisa

[ramy1989]

Non capisco una cosa, se faccio la differenza divisa tra f[x0,x0,x1,x1] e f[x1,x1,x2,x2], ottengo f[x0,x0,x1,x1,x2,x2] ?
E qual'è la regola generale per sapere, facendo la differenza divisa tra due differenza divise, che differenza divisa ottengo?

[canemacchina]

mmm, immagino tu stia affrontando il problema dell'interpolazione di Hermite, giusto?

allora, in generale vale una proprietà delle differenze divise, ovvero che
\( \displaystyle f[x_0,x_1,\ldots,x_{r-1},x_r] = \dfrac{f[x_1,\ldots,x_r] - [x_0,\ldots,x_{r-1}]}{x_r - x_0} \)

Nel tuo caso hai le ascisse doppie, in quanto stai interpolando anche con i valori della derivata, ma il succo non cambia: per calcolare la differenza divisa su n ascisse, servono le due differenze divise con n-1 ascisse. Una è quella che andrà dalla prima alla (n-1)-esima, l'altra dalla seconda alla n-esima.

Nel tuo caso, se vuoi calcolare \( \displaystyle f[x_0,x_0,x_1,x_1,x_2,x_2] \) hai bisogno di \( \displaystyle f[x_0,x_0,x_1,x_1,x_2] \) e \( \displaystyle f[x_0,x_1,x_1,x_2,x_2] \)

Quindi, infine sarebbe
\( \displaystyle f[x_0,x_0,x_1,x_1,x_2,x_2] = \dfrac{f[x_0,x_1,x_1,x_2,x_2] - f[x_0,x_0,x_1,x_1,x_2]}{x_2 - x_0} \)

Chiaro?