Digit \( \displaystyle {1} \) e \( \displaystyle {2} \) e Divisibilità per \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \)

[Mistral]

Un problema per intenditori!


Provare che per ogni intero \( \displaystyle {n} \) esiste un numero divisibile per \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \), la cui rappresentazione decimale contiene \( \displaystyle {n} \) digit ciascuno dei quali è \( \displaystyle {1} \) o \( \displaystyle {2} \),

Posto la soluzione su richiesta condivisa.

Saluti

Mistral

[carlo23]

Un problema per intenditori!


Provare che per ogni intero \( \displaystyle {n} \) esiste un numero divisibile per \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \), la cui rappresentazione decimale contiene \( \displaystyle {n} \) digit ciascuno dei quali è \( \displaystyle {1} \) o \( \displaystyle {2} \),

Posto la soluzione su richiesta condivisa.

Saluti

Mistral

Scusa, digit significa cifre giusto?

[Mistral]

Scusa, digit significa cifre giusto?


Si

[Thomas]

Il problema non è chiaro...

Io l'ho capito così: per ogni n esiste un multiplo di 2^n (arbitrariamente grande!!! senza limiti) che contiene almeno n cifre appartenenti all'insieme (1,2)... ma delle altre cifre ci disinteressiamo

Ma così pare piuttosto facile, si potrebbe anche restringere l'insieme a (2)...

[Mistral]

Il problema non è chiaro...

Io l'ho capito così: per ogni n esiste un multiplo di 2^n (arbitrariamente grande!!! senza limiti) che contiene almeno n cifre appartenenti all'insieme (1,2)... ma delle altre cifre ci disinteressiamo

Ma così pare piuttosto facile, si potrebbe anche restringere l'insieme a (2)...

Prova a costruire per ogni \( \displaystyle {n} \) un numero che è divisibile per \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \) e contiene n cifre che sono \( \displaystyle {1} \) o \( \displaystyle {2} \), così vediamo se è facile. Comunque la soluzione che ho pensato ha esattamente \( \displaystyle {n} \) cifre e sono tutte \( \displaystyle {1} \) o \( \displaystyle {2} \). Ora che vi ho scritto questo vi ho già dato un grosso suggerimento alla soluzione. Poi un problema può avere più soluzione alcune sono "smart" altre sono "butcher like".


Saluti

Mistral

[Thomas]

uff... guarda che c'è chi si impegna anche per le "butcher's like" .... Cmq se non sono apprezzate eviterò di postarle...

E poi il tuo testo non si capiva... se non imponi limitazioni basta che moltiplichi per 10^n con n abb grande e poi sommi un opprtuno multiplo per ottenere 2 a piacere...

[Mistral]

uff... guarda che c'è chi si impegna anche per le "butcher's like" .... Cmq se non sono apprezzate eviterò di postarle...

E poi il tuo testo non si capiva... se non imponi limitazioni basta che moltiplichi per 10^n con n abb grande e poi sommi un opprtuno multiplo per ottenere 2 a piacere...

Il problema e che se dici nel testo esattemente \( \displaystyle {n} \) cifre dai un aiuto, comunque ammetto che il problema potrebbe contenere soluzioni del tipo \( \displaystyle {n} \) digit \( \displaystyle {1} \) e \( \displaystyle {2} \) + digit di \( \displaystyle {{10}}^{{n}} \) con \( \displaystyle {n} \) abbastanza grande , suggerisco di costuirne una ad esempio quella per \( \displaystyle {n}={10} \). Pero mi focalizzerei su quelle con di \( \displaystyle {n} \) cifre.


Comunque il "butcher like" non era per essere offensivo con nessuno .

Aggiungo il testo in inglese magari ne ho fatto una traduzione "butcher like" :

Show that for any positive integer \( \displaystyle {n} \), there is a number whose decimal representation contains \( \displaystyle {n} \) digits, each of is \( \displaystyle {1} \) or \( \displaystyle {2} \), and which is divisible by \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \).

Saluti

Mistral

[Thomas]

Va bè... cmq la sol più naturale mi pare quella sopra... capisco che "dai un seuggerimento" ma i problemi sono diversi!


Per induzione, supponiamo che esista per n e anzi che esista con un certo numero di cifre.

a=k*2^n ip.ind.

claim: uno tra 1a e 2a andrà bene. (chiamo il numero nuovo t)

se k pari, k=2z:

t = 2*10^n+k*2^n
t= 2^(n+1)*5^n+z*2^(n+1)=2^(n+1)(5^n+z)

se k dispari, k = 2z+1

t = 10^n+(2z+1)*2^n
t = 5^n*2^n+2^n+2^(n+1)*z
t= 2^n*(5^n+1)+2^(n+1)*z

la tesi segue perchè 5^n+1 è pari...

byez

[Thomas]

per divertimento

n=10

12032323219251251251281928192

con esattamente 10 2...

[Mistral]

Va bè... cmq la sol più naturale mi pare quella sopra... capisco che "dai un seuggerimento" ma i problemi sono diversi!


Per induzione, supponiamo che esista per n e anzi che esista con un certo numero di cifre.

a=k*2^n ip.ind.

claim: uno tra 1a e 2a andrà bene. (chiamo il numero nuovo t)

se k pari, k=2z:

t = 2*10^n+k*2^n
t= 2^(n+1)*5^n+z*2^(n+1)=2^(n+1)(5^n+z)

se k dispari, k = 2z+1

t = 10^n+(2z+1)*2^n
t = 5^n*2^n+2^n+2^(n+1)*z
t= 2^n*(5^n+1)+2^(n+1)*z

la tesi segue perchè 5^n+1 è pari...

byez

Mi sfugge come dimostri nel passo di induzione \( \displaystyle {n}\to{n}+{1} \) che il nuovo numero ha nelle sua rappresentazione decimale almeno \( \displaystyle {n}+{1} \) cifre che sono \( \displaystyle {1} \) o \( \displaystyle {2} \).

Saluti

Mistral