Dimensione di uno spazio vettoriale di vettori applicati

[Gono]

Vi pongo un problema, un groviglio, un dilemma che non riesco a sciogliere riguardo gli spazi vettoriali...

In un esercizio mi viene chiesto di determinare Ker f ed una sua base ortonormale a partire da:

\( \displaystyle {V}_{{{0}}} \) ossia lo spazio vettoriale dei VETTORI APPLICATI in 0 dello spazio ordinario, una sua base ortonormale (i,j,k) (le freccine sopra non me le fa);
\( \displaystyle {v}_{{{1}}} \) = j+k [sempre con le frecce]
\( \displaystyle {v}_{{{2}}} \) = i - j [sempre con le frecce]

Ora, io so che per determinare Ker f, ed in particolare la sua dimensione abbiamo bisogno della dimensione dell'insieme/spazio di partenza e di quella di Im(f) [che è uguale al rango della matrice associata]

Ma la dimensione di \( \displaystyle {V}_{{{0}}} \) QUANTO E'???
Stessa domanda per l'Im(f), perchè come posso trovarla se non so la dimensione di \( \displaystyle {V}_{{{0}}} \) che mi permetterebbe di capire da quanti vettori è formata una sua base e di conseguenza poter tirar fuori la matrice associata!

Ecco, sarei molto grato a chi mi rispondesse con chiarezza per far finalmente dissolvere questo dannato dubbio!

[dissonance]

Intanto si parla di spazio ordinario, quindi si dice implicitamente la dimensione: 3. Poi la traccia stessa si riferisce ad "una sua base ortonormale \( \displaystyle {i},{j},{k} \)"... Uno spazio vettoriale avente una base composta da tre vettori che dimensione ha?

[Gono]

Eh, anche io ho pensato al fatto dei versori i j k però mi sembrava una risposta idiota xD
Non essendo per niente sicuro di quello che pensavo, e visto che ho un esame tra poco volevo togliere il dubbio.
Quindi per determinare la matrice associata eseguo la f su i, su j e su k e i vettori risultanti li metto come colonne, o no?

[Gono]

Up!

[Gono]

Ok, sto provando a fare la f (i) ma mi sono bloccato all'ultimo passaggio, ecco ciò che ho fatto:

^ = prodotto vettoriale
° = prodotto scalare

f(i)= \( \displaystyle {i} \) ° \( \displaystyle {\left({j}+{k}\right)} \)^\( \displaystyle {\left({i}-{j}\right)} \)= \( \displaystyle {i} \) ° \( \displaystyle {\left(-{k}+{j}-{i}\right)} \)

Ora, se faccio un prodotto scalare di due versori perpendicolari, questo verrà nullo!
E visto che i j k è una base ortonormale essi sono perpendicolari, quindi applicando la f ad i, a j, ed a k, avrò lo stesso risultato = 0

La matrice associata come la costruisco dunque?!