Dimostrare che $2<e<3$

[BoG]

Ciao a tutti, mi trovo di fronte a questo esercizio e non so se la mia soluzione puo' funzionare:
Dimostrare che $2<e<3$.

Ho pensato di fare così:

prima di tutto studiero' il caso $2<e$:
so che $e = \sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$, se provo a calcolarmi $e$ per $n=3$ ho:
$e = \sum_{n=0}^3 1/(n!) = 1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)= 1 + 1 + 1/2 = 2.5$.
poiche' la serie $\sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$ è a termini positivisono sicuro che al massimo puo' crescere e quindi essendo crescente mi dimostra che $2<e$.

poi studio $e = \sum_{n=0}^\infty 1/(n!) <3$
ho pensato così:
$3$ è un maggiorante di $e = \sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$, quindi se io maggiorassi la mia $\sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$
con ad esempio una serie della quale conosco la somma: $\sum_{n=0}^\infty 1/(n*(n+1)) = 1$, la moltiplico per $3$ e poi scrivo:

$e = \sum_{n=0}^\infty 1/(n!) < 3\sum_{n=0}^\infty 1/(n*(n+1)) = 3$.

Questo va bene?

[Seneca]

Il primo argomento va bene; il secondo no. Infatti non è vero che $\sum_(n=0)^(oo) 1/(n!) < \sum_(n=1)^(oo) 1/(n(n+1))$.

[BoG]

Non ho capito, io ho usato (per la seconda parte) la scala di confrtonto asintotico:
${1/(n!)}_n< <{1/n^k}_n$ con $ k \in RR$
poi ...
${1/(n!)}_n< <{1/n^2}_n \sim {1/(n*(n+1))}_n$
perchè non va?

[Seneca]

Perché vuoi stimare la somma ed il comportamento asintotico ti manda fuori strada. Ti sei accorto che $\sum_(n=0)^(oo) 1/(n!) < \sum_(n=1)^(oo) 1/(n(n+1))$ cioè $e < 1$, contraddice la prima disuguaglianza?

$\sum_(n=0)^(2) 1/(n!) = 1 + 1 + 1/2$ e hai già superato $2$...

Mentre la somma $ \sum_(n=1)^(k) 1/(n(n+1))$ non supererà mai $1$, per quanto arbitrariamente grande tu possa fissare $k$.

[BoG]

Il primo argomento va bene; il secondo no. Infatti non è vero che .

Mentre la somma $ \sum_(n=1)^(k) 1/(n(n+1))$ non supererà mai $1$, per quanto arbitrariamente grande tu possa fissare $k$.

Si, lo ho notato, per questo lo ho moltiplicato per 3. Infatti ho scritto $\sum_(n=0)^(oo) 1/(n!) < 3 (\sum_(n=1)^(\infty) 1/(n(n+1)))$

nemmeno così va bene?

[Seneca]

Non ci siamo. Quella disuguaglianza lì è vera a posteriori, non hai dimostrato niente.

[Andre@]

$e = \sum_{n=0}^3 1/(n!) = 1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)= 1 + 1 + 1/2 = 2.5$.

$e = \sum_{n=0}^3 1/(n!) = 1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)= 1 + 1 + 1/2+1/6 = 2.\bar6$

[Delirium]

Per provare la seconda disuguaglianza ci vuole un argomento un po' più raffinato. Io farei così:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fissato \(\displaystyle m\in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle 1<m\le n \), si ha
\[\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{k!} + \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{k!} + \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{m^{k-m} m!}\]
ove ho utilizzato la disuguaglianza \(\displaystyle k!=k(k-1)\cdot \dots \cdot m! >m^{k-m}m! \)

Usando poi la formula per la somma geometrica parziale si ha \[\displaystyle \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{m^{k-m} m!}=\frac{1}{m!} \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{m^{k-m}}=\frac{1}{m!} \sum_{h=0}^{n-m} \left( \frac{1}{m} \right)^{h}=\frac{1}{m!} \frac{1 - (1/m)^{n-m+1}}{1 - (1/m)}<\frac{1}{m!} \frac{m}{(m-1)} \]
Quindi vale la disuguaglianza \[\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} <\sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{k!} +\frac{1}{m!} \frac{m}{(m-1)} \]
e pertanto per \(\displaystyle n \to \infty \) (la maggiorazione è indipendente da \(\displaystyle n \)) si ha
\[\displaystyle e<\sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{k!} +\frac{1}{m!} \frac{m}{(m-1)} \]
che con \(\displaystyle m=4 \) fornisce \[\displaystyle e<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{18}<3 \]

[totissimus]

Le limitazioni richieste si ottengono dalla definizione di \(e\):

\( e=lim \left(1+\frac{1}{n} \right)^n=lim \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\)
La prima successione è crescente e la seconda decrescente e quindi:

\(\left(1+\frac{1}{n} \right)^n<e< \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\)

[dissonance]

@totissimus: Il problema è che l'OP ha definito \(e\) per serie:

[...]so che \[e=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\][...]

quindi per applicare la tua osservazione occorrerebbe prima dimostrare che
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!},
\end{equation}
fatto che, a quanto ne so io, non è proprio immediato.