Dimostrare che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{n}}\right)}={S}_{{n}} \) se \( \displaystyle {n}\ne\ {2},{6} \)

[alvinlee88]

Dimostrare che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{n}}\right)}={S}_{{n}} \) se \( \displaystyle {n}\ne\ {2},{6} \)

nota: il segno di uguale è da intendersi come il segno di isomorfismo

[Akina]

Io considererei il gruppo degli automorfismi interni di un gruppo G..questo gruppo I(G) è \( \displaystyle \stackrel{\sim}{=} \) a G/Z(G) dove Z(G) è il centro del gruppo..Poi faccio vedere che in \( \displaystyle {S}_{{n}} \) il centro è banale e quindi per n≠6 \( \displaystyle {S}_{{n}} \) ha solo automorfismi interni.Poi visto che in un gruppo I(G) è un sgr normale Aut(G)..allora Aut(\( \displaystyle {S}_{{n}} \))\( \displaystyle \stackrel{\sim}{=} \)I(\( \displaystyle {S}_{{n}} \)) \( \displaystyle \stackrel{\sim}{=} \) \( \displaystyle {S}_{{n}} \)

[Martino]

Ciao.

per n≠6 \( \displaystyle {S}_{{n}} \) ha solo automorfismi interni.

Potresti giustificare questa affermazione?

[alvinlee88]

Non è detto

, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che \( \displaystyle {I}{n}{t}{\left({S}_{{n}}\right)} \) è contenuto in \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{n}}\right)} \). Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.

@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per \( \displaystyle {n}\ne{6} \) è proprio \( \displaystyle {S}_{{n}} \), che per \( \displaystyle {n}={6} \) \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \) è isomorfo al prodotto semidiretto di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) per \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{\left({2}\mathbb{Z}\right)} \), per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...

[mod="Martino"]Sistemato gli accenti [/mod]

[fu^2]

Non è detto

, questo è proprio quello che si deve dimostrare. Te hai solo dimostrato che \( \displaystyle {I}{n}{t}{\left({S}_{{n}}\right)} \) è contenuto in \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}{n}\right)} \). Ora si dovrebbe dimostrare l'altra inclusione.

@martino
Sembra strano eh? questo fatto ci è stato diciamo raccontato dal prof di strutture algebriche a lezione, ma senza alcuna dimostrazione. MI sono quindi rivolto al forum per vedere se si riesce a dimostrare, sia che per \( \displaystyle {n}\ne{6} \) [ proprio \( \displaystyle {S}_{{n}} \), che per \( \displaystyle {n}={6} \) \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({S}_{{6}}\right)} \) è isomorfo al prodotto semidiretto di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) per \( \displaystyle \mathbb{Z}\//{\left({2}\mathbb{Z}\right)} \), per una qualche azione a me ignota. Non deve essere un problema facile, dato che ce l'ha solo enunciato...

bestiale, le accento sulle e per come le avevi fatte te funzionavano come i dollari ora si legge meglio

[Martino]

Ci sono novita' su questo fronte?
Io ci sto ancora pensando.
In realta' e' un fatto di cui faccio uso continuamente (piu' precisamente uso il fatto che \( \displaystyle {A}{u}{t}{\left({A}_{{n}}\right)}={S}_{{n}} \) se \( \displaystyle {n}\ne{2},{3},{6} \)) ma non ne ho ancora visto una dimostrazione.

[alvinlee88]

Qui ci sono novitè, ma non ho ancora avuto il tempo di leggermi ammodo la dimostrazione.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... ?f=6&t=744

[Martino]

Ho trovato anch'io una dimostrazione, e' abbastanza interessante, ma non pulita come pensavo. Dimostra che ogni automorfismo di \( \displaystyle {A}_{{n}} \) che manda \( \displaystyle {3} \)-cicli in \( \displaystyle {3} \)-cicli e' il coniugio tramite un \( \displaystyle {g{\in}}{S}_{{n}} \), e poi che se \( \displaystyle {n}\ge{5} \) e \( \displaystyle {n}\ne{6} \) gli automorfismi di \( \displaystyle {A}_{{n}} \) mandano \( \displaystyle {3} \)-cicli in \( \displaystyle {3} \)-cicli. Per fare questo gioca un po' con gli ordini dei centralizzanti.

[Martino]

Riesumo la discussione: ho avuto modo di pensarci produttivamente.

Diamo per buono che in \( \displaystyle S_n \) il centralizzante di un prodotto di \( \displaystyle t \) 3-cicli disgiunti ha ordine \( \displaystyle 3^t \cdot t! \cdot (n-3t)! \) .

Siccome un automorfismo \( \displaystyle \gamma \) di \( \displaystyle S_n \) manda il centralizzante di \( \displaystyle x \) nel centralizzante di \( \displaystyle \gamma(x) \) , prendendo per x un 3-ciclo si ottiene una relazione del tipo:

\( \displaystyle 3 (n-3)! = 3^t \cdot t! \cdot (n-3t)! \) (*)

Osservo che se \( \displaystyle \gamma \) è interno allora \( \displaystyle t=1 \) . Mostriamo che \( \displaystyle t \) è sempre \( \displaystyle 1 \) a meno che \( \displaystyle n=6 \) .
Dividendo per \( \displaystyle (n-3t)! \) l'uguaglianza (*) diventa:

\( \displaystyle \binom{n-3}{n-3t} \cdot (3t-3)! = 3^{t-1} \cdot t! \)
In particolare \( \displaystyle (3t-3)(3t-4)...(t+1) \leq 3^{t-1} \) .

Quindi se \( \displaystyle t \geq 2 \) otteniamo un prodotto di \( \displaystyle 2t-3 \) interi maggiori o uguali di 3 il cui risultato è minore o uguale di \( \displaystyle 3^{t-1} \) , e questo implica \( \displaystyle 2t-3 \leq t-1 \) , cioè \( \displaystyle t \leq 2 \) , cioè \( \displaystyle t=2 \) . Sostituendo in (*) otteniamo proprio \( \displaystyle n=6 \) . Ecco perché il 6 si comporta così male!

Questo non dimostra che \( \displaystyle Aut(S_6) \neq S_6 \) , ma solo che il 6 potrebbe creare problemi. Andando poi a studiare direttamente \( \displaystyle S_6 \) si vede che in effetti li crea.

[angus89]

Per \( \displaystyle {S}_{{6}} \) ecco una dispensa del mio prof
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/Algebra1/Pages/autesterno.pdf

Per il teorema generale ho una dimostrazione davvero carina, se ne trovo il tempo la metto domani...aimè son sotto esami...