dimostrare che un endomorfismo è un isomorfismo...come?!

[misanino]

Mhh...non penso di esserci riuscita
Allora, devo dimostrare che Tv=0
so che T= Id-N quindi (Id-N)v=0
so inoltre che \( \displaystyle {{N}}^{{n}} \)=0 quindi (Id-\( \displaystyle {{N}}^{{n}} \))=1 qundi per ottenere (Id-\( \displaystyle {{N}}^{{n}} \))v=0 v deve essere uguale a 0.

Che dici?

Non devi dimostrare che Tv=0. Che senso ha quello che dici? Allora T sarebbe 0 no!?
Devi dimostrare che T è iniettivo cioè:
Se \( \displaystyle {T}{v}={0} \) allora \( \displaystyle {v}={0} \)
Questo devi dimostrare!

Ora \( \displaystyle {T}{v}={\left({i}{d}-{N}\right)}{v}={i}{d}{\left({v}\right)}-{N}{v}={v}-{N}{v} \)
Ora se \( \displaystyle {T}{v}={0} \) allora \( \displaystyle {v}-{N}{v}={0} \) allora \( \displaystyle {N}{v}={v} \)
Quindi \( \displaystyle {{N}}^{{2}}{v}={N}{N}{v}={N}{v}={v} \)
Allo stesso modo \( \displaystyle {{N}}^{{3}}{v}={v} \), \( \displaystyle {{N}}^{{4}}{v}={v} \) .... \( \displaystyle {{N}}^{{n}}{v}={v} \)
Ma \( \displaystyle {{N}}^{{n}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {{N}}^{{n}}{v}={0} \). Perciò \( \displaystyle {v}={0} \) e hai finito
E' chiaro ora?

[Zkeggia]

Tra l'altro in generale vale che se un endomorfismo è nilpotente allora ha come autovalore solo lo 0. E vale anche il viceversa.

[Gaal Dornick]

Non ho letto tutto il post, ma penso valga la pena notare che:
più in generale vale la seguente.

Dato \( \displaystyle {A} \) un anello unitario, \( \displaystyle {x} \) un elemento nilpotente, allora \( \displaystyle {1}+{x} \) è invertibile.
La dimostrazione è esattamente quella utilizzata da cirasa, dato che lui difatto utilizza solo proprietà di essere un anello unitario dello spazio delle matrici.
Corollario: dato \( \displaystyle {u} \) un elemento unitario, anche \( \displaystyle {u}+{x} \) è unitario (la correzione nilpotente di un elemento unitario è unitaria).

Sono dell'idea che astrarre a volte serve a rendere il concetto, le forze in gioco, più evidenti. Questo penso sia uno di questi casi.