dimostrare che un endomorfismo è un isomorfismo...come?!

[ImpaButty]

Salve!
Sono alle prese con un esercizio che non riesco a risolvere, o meglio ancora non riesco ad iniziare...

" Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia N: V -> V un endomorfismo tale che esiste un n \( \displaystyle \in \) N tale che \( \displaystyle {{N}}^{{n}} \)=0
-Dimostrare che T=Id-N è un isomorfismo
-Calcolare \( \displaystyle {{T}}^{{-{{1}}}} \) "



Per quanto riguarda la prima richiesta...da dove inizio?! Il mio libro di Geometria 1 (il Sernesi) dice solo che un isomorfismo è una applicazione lineare biunivoca...


Grazie in anticipo per l'aiuto!

[misanino]

Salve!
Sono alle prese con un esercizio che non riesco a risolvere, o meglio ancora non riesco ad iniziare...

" Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia N: V -> V un endomorfismo tale che esiste un n \( \displaystyle \in \) N tale che \( \displaystyle {{N}}^{{n}} \)=0
-Dimostrare che T=Id-N è un isomorfismo
-Calcolare \( \displaystyle {{T}}^{{-{{1}}}} \) "



Per quanto riguarda la prima richiesta...da dove inizio?! Il mio libro di Geometria 1 (il Sernesi) dice solo che un isomorfismo è una applicazione lineare biunivoca...


Grazie in anticipo per l'aiuto!

dato che sei in dimensione finita per mostrare che T è un isomorfismo ti basta mostrare che è iniettivo, cioè che se \( \displaystyle {T}{v}={0} \) allora \( \displaystyle {v}={0} \).
Per farlo scrivi \( \displaystyle {T}{v}={0} \) e sostituisci a T la sua espressione e guarda un po' cosa ti viene.
Poi ricorda che \( \displaystyle {{N}}^{{n}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {{N}}^{{n}}{v}={0}\ne{v} \).
Perciò ....
prova un po' tu, poi se non riesci a concludere scrivi qui fin dove sei arrivato e ti diamo noi una mano per concludere

[cirasa]

Suggerimento per il secondo punto:
\( \displaystyle {I}={I}-{{N}}^{{n}}={\left({I}-{N}\right)}{\left(\ldots.\right)} \)
Completa e avrai risolto!

[ImpaButty]

misanino: grazie per le indicazioni, ma come faccio in generale a vedere se un endomorfismo è un isomorfismo?

cirasa: non ho capito il tuo suggerimento...come faccio attraverso quella scomposizione ad arrivare a \( \displaystyle {{T}}^{{-{{1}}}} \) ?

[cirasa]

Supponiamo che tu sappia che \( \displaystyle {T}={I}-{N} \) è invertibile.
Componendo a sinistra ambo i membri di \( \displaystyle {I}={\left({I}-{N}\right)}{\left(\ldots.\right)} \) con \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}}={{\left({I}-{N}\right)}}^{{-{1}}} \), ottieni....
Spero di averti aiutato, se ci sono problemi dimmelo e sarò più esplicito.

[ImpaButty]

...continuo a non capire!!!

[cirasa]

Visto che \( \displaystyle {{N}}^{{n}}={0} \) per ipotesi, si ha che
\( \displaystyle {I}={I}-{{N}}^{{n}}={\left({I}-{N}\right)}{\left({I}+{N}+{{N}}^{{2}}+\ldots+{{N}}^{{{n}-{1}}}\right)} \)
Componendo a sinistra con \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}}={{\left({I}-{N}\right)}}^{{-{1}}} \) (stiamo supponendo che tu abbia già provato la prima parte dell'esercizio, cioè già sai che \( \displaystyle {T} \) è invertibile, perciò esiste \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}} \)), si ha che
\( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}}={{T}}^{{-{1}}}{\left({I}-{N}\right)}{\left({I}+{N}+{{N}}^{{2}}+\ldots+{{N}}^{{{n}-{1}}}\right)}={I}+{N}+{{N}}^{{2}}+\ldots+{{N}}^{{{n}-{1}}} \)

E' più chiaro ora?
L'applicazione inversa di \( \displaystyle {T} \) è \( \displaystyle {{T}}^{{-{1}}}={I}+{N}+{{N}}^{{2}}+\ldots+{{N}}^{{{n}-{1}}} \).

Quindi ora ti resta da risolvere la prima parte dell'esercizio.
Ora devo andare, se ci sono problemi domani ti darò la mia idea di risoluzione.
Ciao!:D

[misanino]

misanino: grazie per le indicazioni, ma come faccio in generale a vedere se un endomorfismo è un isomorfismo?

Nella maggior parte dei casi avrai spazi di dimensione finita e quindi ti basterà mostrare che è iniettivo cioè che, detto A il tuo endomorfismo, hai che Av=0 se e solo se v=0

Nel caso invece che lo spazio sia a dimensione infinita allora devi mostrare che è iniettivo, ma anche che è suriettivo, cioè che ogni elemento \( \displaystyle {v}\in{V} \) ha una controimmagine

Comunque in questo caso specifico sei riuscito a fare il primo punto?

[ImpaButty]

Mhh...non penso di esserci riuscita
Allora, devo dimostrare che Tv=0
so che T= Id-N quindi (Id-N)v=0
so inoltre che \( \displaystyle {{N}}^{{n}} \)=0 quindi (Id-\( \displaystyle {{N}}^{{n}} \))=1 qundi per ottenere (Id-\( \displaystyle {{N}}^{{n}} \))v=0 v deve essere uguale a 0.

Che dici?

[Zkeggia]

Non devi mica dimostrare che l'identità è invertibile! devi dimostrare che \( \displaystyle {\left({I}-{N}\right)}{\left({v}\right)}={0}\lt\to{v}={0} \), non che \( \displaystyle {I}{\left({v}\right)}={0} \)!
Supponi che esista un vettore \( \displaystyle {v} \) non nullo appartenente al \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({T}\right)} \), allora avrai che \( \displaystyle {T}{\left({v}\right)}={0} \), ma questo che condizione porta su N? E perché non può andare?