dimostrare che \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \)

[BoG]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi consiglio su questo esercizio:
dimostrare che \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \) discende dai seguenti assiomi dati:

Assioma1: \( \displaystyle {x}\ne{y}\:=\neg{\left({x}={y}\right)} \), \( \displaystyle {x}\notin{y}\:=\neg{\left({x}\in{y}\right)} \)
Assioma2: \( \displaystyle {y}\in{\left\lbrace{x}\in{A}:{P}{\left[{x}\right]}\right\rbrace}\Leftrightarrow{y}\in{A} \) e \( \displaystyle {P}{\left[{y}\right]}={v}{e}{r}{o} \) dove \( \displaystyle {P}{\left[{y}\right]} \) è una proprieta' in \( \displaystyle {y} \)
Assioma3: \( \displaystyle {y}\in{\left\lbrace{x}\right\rbrace}\Leftrightarrow{y}={x} \) (assioma di Peano o dell' esistenza del singoletto)

Io ho pensato di procedere così:

Ho bisogno di dimostrare un' apartenenza: \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \) e per far questo parto coll' Ass1 che mi definisce l'appartenenza.
Coll' Ass2 mi posso creare un insieme a piacere e poi usando l' Ass3 posso scomporre questo insieme in singoletti, così che ad ogni elemento corriponde il proprio singoletto, ossia:
\( \displaystyle {x}\in{\left\lbrace{x}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {y}\in{\left\lbrace{y}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {z}\in{\left\lbrace{z}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {u}\in{\left\lbrace{u}\right\rbrace} \), \( \displaystyle {v}\in{\left\lbrace{v}\right\rbrace} \), eccetera.
Così faccendo, nessuno dei miei elementi (oggetti) \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \) .

Questo ragionamento potrebbe avere senso?

[j18eos]

Io partirei col definire mediante i primi \(2\) assiomi \(\emptyset=\{x\in S: x\neq x\}\) ove \(S\) è l'insieme delle variabili individuali; poi proseguirei come hai fatto tu.

[gio73]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi consiglio su questo esercizio:
dimostrare che \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \)

Una stupidaggina probabilmente... ma la tua scrittura significa: dimostrare che x non appartiene all'insieme vuoto ( nel qual caso non sarebbe basta to scrivere \( \displaystyle {x}\notin\emptyset \) o \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\right\rbrace} \)), oppure significa che x non appartiene a un insieme il cui unico elemento è l'insieme vuoto?

[j18eos]

La seconda che hai scritto gio73; se sei alle prime armi ti raccomando di imparare a leggere la matematica, senza offesa!

[gio73]

Nessuna offesa, se ti consola non sto seguendo un CDL in matematica e per quanto riguarda gli armamenti, mi sento come la Svizzera! Ho solo seguito la vostra discussione (l'ho capita solo parzialmente) e se vi ho disturbato, chiedo scusa.

[Paolo90]

Se devo essere sincero, io comprendo e approvo in pieno l'osservazione di gio73.

Scusate ma voi volete dimostrare che \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \). Domanda: chi è \( \displaystyle {x} \)? Un numero, una variabile, che cosa?

Non capisco: non è forse vero che \( \displaystyle \emptyset\in{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \)?

[garnak.olegovitc]

Salve gio73,

Ciao a tutti, vorrei chiedervi consiglio su questo esercizio:
dimostrare che \( \displaystyle {x}\notin{\left\lbrace\emptyset\right\rbrace} \)

Una stupidaggina probabilmente... ma la tua scrittura significa: dimostrare che x non appartiene all'insieme vuoto ..

mha, io direi, forse meglio, al singoletto dell'insieme vuoto, o no? Chi ti assicura che \( \displaystyle {\left\lbrace\emptyset\right\rbrace}=\emptyset \) da poter fare tali sostituzioni, sarebbe opportuno dimostrarlo secondo gli assiomi dati. Corregimi se sbaglio.
http://users.dimi.uniud.it/~gianluca.go ... nsiemi.pdf (pg. 11)
Cordiali saluti

[j18eos]

...se vi ho disturbato, chiedo scusa.

Assolutamente no!

@Paolo90 Volendo tradurre tutto ciò in un linguaggio del I ordine, \(x\) è una variabile individuale!

@garnak Ovvio (per me che ho studiato un pò di logica) che non è un dogma che sia \(\emptyset\neq\{\emptyset\}\).

[Paolo90]

@Paolo90 Volendo tradurre tutto ciò in un linguaggio del I ordine, \(x\) è una variabile individuale!

Certo, lo immaginavo, è logica del prim'ordine. Però non è scritto da nessuna parte, quindi secondo me il dubbio di gio73 è più che legittimo.