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Richiamiamo innanzitutto un paio di nozioni:
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Sia \( \displaystyle u\in L^1(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \) .
Per ogni \( \displaystyle \omega \in \mathbb{R} \) è finito l'integrale:
\( \displaystyle \hat{u} (\omega):=\int_{-\infty}^{+\infty} u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t \) ,
e l'applicazione \( \displaystyle \omega \mapsto \hat{u} (\omega) \) si chiama trasformata di Fourier di \( \displaystyle u \) .
La \( \displaystyle \hat{u} \) è continua ed infinitesima all'infinito, nel senso che \( \displaystyle \lim_{|\omega|\to +\infty} |\hat{u} (\omega)|=0 \) (questo è il lemma di Riemann-Lebesgue).
L'operatore \( \displaystyle \hat{}: L^1(\mathbb{R};\mathbb{C}) \to C_0(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) è lineare e continuo.
Vale il seguente risultato classico:
La (FIF) è anche nota come formula d'inversione (della trasformata) di Fourier; ovviamente dalla (FIF) segue immediatamente che:
Perciò \( \displaystyle \hat{} \) è un operatore iniettivo di \( \displaystyle L^1(\mathbb{R};\mathbb{C}) \cap C(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) in \( \displaystyle C_0(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) .
Per ogni \( \displaystyle \omega \in \mathbb{R} \) è finito l'integrale:
\( \displaystyle \hat{u} (\omega):=\int_{-\infty}^{+\infty} u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t \) ,
e l'applicazione \( \displaystyle \omega \mapsto \hat{u} (\omega) \) si chiama trasformata di Fourier di \( \displaystyle u \) .
La \( \displaystyle \hat{u} \) è continua ed infinitesima all'infinito, nel senso che \( \displaystyle \lim_{|\omega|\to +\infty} |\hat{u} (\omega)|=0 \) (questo è il lemma di Riemann-Lebesgue).
L'operatore \( \displaystyle \hat{}: L^1(\mathbb{R};\mathbb{C}) \to C_0(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) è lineare e continuo.
Vale il seguente risultato classico:
Sia \( \displaystyle u\in L^1 (\mathbb{R} ;\mathbb{C}) \) .
Risulta:
(FIF) \( \displaystyle u(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{u} (\omega)\ e^{\jmath \omega t}\ \text{d} \omega \quad \text{per q.o. $t\in \mathbb{R}$} \) ;
se inoltre \( \displaystyle u \) è continua in \( \displaystyle \mathbb{R} \) , allora la precedente uguaglianza vale identicamente per \( \displaystyle t\in \mathbb{R} \) .
La (FIF) è anche nota come formula d'inversione (della trasformata) di Fourier; ovviamente dalla (FIF) segue immediatamente che:
Sia \( \displaystyle u\in L^1 (\mathbb{R} ;\mathbb{C}) \) .
Risulta:
(I) \( \displaystyle u(t)=0\ \text{per q.o. $t\in \mathbb{R}$}\quad \Leftrightarrow \quad \hat{u} (\omega) =0\ \text{per q.o. $\omega\in \mathbb{R}$} \) ;
se inoltre \( \displaystyle u \) è continua in \( \displaystyle \mathbb{R} \) allora le precedenti uguaglianze sono da intendersi valide identicamente in \( \displaystyle \mathbb{R} \) .
Perciò \( \displaystyle \hat{} \) è un operatore iniettivo di \( \displaystyle L^1(\mathbb{R};\mathbb{C}) \cap C(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) in \( \displaystyle C_0(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) .
***
Vediamo ora com'è possibile usare la (FIF) per provare il TFA:
Sia \( \displaystyle p(z) \) un polinomio a coefficienti complessi di grado \( \displaystyle \geq 1 \) .
Allora \( \displaystyle p(z) \) ha almeno uno zero in \( \displaystyle \mathbb{C} \) .
Dim.: Per assurdo, supponiamo che esista un polinomio \( \displaystyle p(z) \) che non abbia alcuna radice in \( \displaystyle \mathbb{C} \) (cioè che non esista alcun \( \displaystyle \zeta \in \mathbb{C} \) tale che \( \displaystyle p(\zeta )=0 \) ).
1. Il polinomio \( \displaystyle p(z) \) ha da avere grado \( \displaystyle \geq 2 \) *, dunque la funzione \( \displaystyle u(z):=\tfrac{1}{p(z)} \) è continua ed olomorfa in \( \displaystyle \mathbb{C} \) e soddisfa una stima asintotica del tipo \( \displaystyle |u(z)|=\text{O}( |z|^{-2}) \) per \( \displaystyle |z|\to +\infty \) .
Consideriamo la funzione \( \displaystyle u(t) \) che si ottiene restringendo la \( \displaystyle u(z) \) all'asse reale: tale funzione è continua e di classe \( \displaystyle C^\infty \) in \( \displaystyle \mathbb{R} \) e soddisfa una stima del tipo \( \displaystyle |u(t)|=\text{O} (|t|^{-2}) \) per \( \displaystyle |t|\to +\infty \) , sicché \( \displaystyle u\in L^1(\mathbb{R};\mathbb{C})\cap C(\mathbb{R};\mathbb{C}) \) ; conseguentemente se ne può calcolare la trasformata di Fourier di \( \displaystyle \hat{u}(\omega) \) , la quale risulta funzione di classe \( \displaystyle C^\infty \) in \( \displaystyle \mathbb{R} \) e tale che:
\( \displaystyle u(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{u} (\omega)\ e^{\jmath \omega t}\ \text{d} \omega \)
per la (FIF).
2. Proviamo che \( \displaystyle \hat{u} (\omega)=0 \) per \( \displaystyle \omega < 0 \) .
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Fissato \( \displaystyle \omega \leq 0 \) , consideriamo l'integrale complesso:
\( \displaystyle \int_{+\partial D^+(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\ \text{d} z \)
ove \( \displaystyle D^+(r):=\{ z\in \mathbb{C}:\ \text{$|z|0$} \} \) è il semicerchio aperto di centro \( \displaystyle 0 \) e raggio \( \displaystyle r>0 \) situato nel semipiano \( \displaystyle \text{Im} z>0 \) : evidentemente tale integrale è nullo per il teorema integrale di Cauchy e però si ha:
\( \displaystyle \int_{+\partial D^+(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\ \text{d} z = \int_{-r}^r u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t +\int_{+\Gamma(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z \) ,
in cui \( \displaystyle \Gamma(r) \) è la semicirconferenza di centro \( \displaystyle 0 \) e raggio \( \displaystyle r \) nel semipiano \( \displaystyle \text{Im} z\geq 0 \) , quindi:
\( \displaystyle \int_{-r}^r u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t = -\int_{+\Gamma(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z \) ,
e perciò vale:
(A) \( \displaystyle \hat{u}(\omega) = -\lim_{r\to +\infty}\int_{+\Gamma(r)} \frac{1}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z \) .
Vista la (A) per calcolare \( \displaystyle \hat{u}(\omega) \) basta calcolare il limite dell'integrale a terzo membro: per fare ciò basta sfruttare il secondo lemma di Jordan (quello dell'arco grande) nell'angolo di vertice \( \displaystyle 0 \) ed ampiezza \( \displaystyle \pi \) che corrisponde al semipiano \( \displaystyle \text{Im} z>0 \) ; in particolare si trova:
\( \displaystyle \lim_{r\to +\infty} \int_{+\Gamma(r)} \frac{1}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z = \jmath \pi \lim_{z\to \infty ,\text{Im} z >0} \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z} \)
se il limite a secondo membro esiste ed è uniforme rispetto ad \( \displaystyle \text{arg} z \) .
Per farci un idea di quanto possa valere il limite, restringiamoci ai punti del tipo \( \displaystyle z=\jmath s \) con \( \displaystyle s>0 \) (sono i punti del semiasse immaginario positivo): in tal modo, notato che:
\( \displaystyle \left| \frac{\jmath s}{p(\jmath s)}\ e^{-\jmath \omega (\jmath s)} \right| = \frac{s}{|p(\jmath s)|}\ e^{-\omega s} \leq \frac{C}{s^{N-1}}\ e^{-\omega s} \)
per un'opportuna costante \( \displaystyle C>0 \) , concludiamo facilmente:
\( \displaystyle \lim_{s\to +\infty} \frac{\jmath s}{p(\jmath s)}\ e^{-\jmath \omega (\jmath s)} =0 \) ;
pertanto è lecito congetturare la relazione:
\( \displaystyle \lim_{z\to \infty,\ \text{Im} z>0} \frac{z}{p(z)}\ \ee^{-\jmath \omega z} =0 \) ,
che adesso dimostreremo valida uniformemente rispetto ad \( \displaystyle \text{arg} z \) . Infatti risulta:
\( \displaystyle \left| \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\right| =\frac{|z|}{|p(z)|}\ e^{-\omega \text{Im} z} \)
\( \displaystyle \leq \frac{C}{|z|^{N-1}}\ e^{-\omega \text{Im} z} \)
\( \displaystyle \leq \frac{C}{|z|^{N-1}} \)
sicché:
\( \displaystyle \sup_{\text{arg} z \in ]0,\pi [} \left| \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\right| \leq \frac{C}{|z|^{N-1}} \)
e perciò:
\( \displaystyle \lim_{z\to \infty,\ \text{Im} z>0} \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z} =0\ \text{uniformemente risp. ad $\text{arg} z$} \) .
Applicando il suddetto lemma di Jordan dalla (A) segue \( \displaystyle \hat{u}(\omega)=0 \) per \( \displaystyle \omega \leq 0 \) .
\( \displaystyle \int_{+\partial D^+(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\ \text{d} z \)
ove \( \displaystyle D^+(r):=\{ z\in \mathbb{C}:\ \text{$|z|
\( \displaystyle \int_{+\partial D^+(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\ \text{d} z = \int_{-r}^r u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t +\int_{+\Gamma(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z \) ,
in cui \( \displaystyle \Gamma(r) \) è la semicirconferenza di centro \( \displaystyle 0 \) e raggio \( \displaystyle r \) nel semipiano \( \displaystyle \text{Im} z\geq 0 \) , quindi:
\( \displaystyle \int_{-r}^r u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t = -\int_{+\Gamma(r)} u(z)\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z \) ,
e perciò vale:
(A) \( \displaystyle \hat{u}(\omega) = -\lim_{r\to +\infty}\int_{+\Gamma(r)} \frac{1}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z \) .
Vista la (A) per calcolare \( \displaystyle \hat{u}(\omega) \) basta calcolare il limite dell'integrale a terzo membro: per fare ciò basta sfruttare il secondo lemma di Jordan (quello dell'arco grande) nell'angolo di vertice \( \displaystyle 0 \) ed ampiezza \( \displaystyle \pi \) che corrisponde al semipiano \( \displaystyle \text{Im} z>0 \) ; in particolare si trova:
\( \displaystyle \lim_{r\to +\infty} \int_{+\Gamma(r)} \frac{1}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\text{d} z = \jmath \pi \lim_{z\to \infty ,\text{Im} z >0} \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z} \)
se il limite a secondo membro esiste ed è uniforme rispetto ad \( \displaystyle \text{arg} z \) .
Per farci un idea di quanto possa valere il limite, restringiamoci ai punti del tipo \( \displaystyle z=\jmath s \) con \( \displaystyle s>0 \) (sono i punti del semiasse immaginario positivo): in tal modo, notato che:
\( \displaystyle \left| \frac{\jmath s}{p(\jmath s)}\ e^{-\jmath \omega (\jmath s)} \right| = \frac{s}{|p(\jmath s)|}\ e^{-\omega s} \leq \frac{C}{s^{N-1}}\ e^{-\omega s} \)
per un'opportuna costante \( \displaystyle C>0 \) , concludiamo facilmente:
\( \displaystyle \lim_{s\to +\infty} \frac{\jmath s}{p(\jmath s)}\ e^{-\jmath \omega (\jmath s)} =0 \) ;
pertanto è lecito congetturare la relazione:
\( \displaystyle \lim_{z\to \infty,\ \text{Im} z>0} \frac{z}{p(z)}\ \ee^{-\jmath \omega z} =0 \) ,
che adesso dimostreremo valida uniformemente rispetto ad \( \displaystyle \text{arg} z \) . Infatti risulta:
\( \displaystyle \left| \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\right| =\frac{|z|}{|p(z)|}\ e^{-\omega \text{Im} z} \)
\( \displaystyle \leq \frac{C}{|z|^{N-1}}\ e^{-\omega \text{Im} z} \)
\( \displaystyle \leq \frac{C}{|z|^{N-1}} \)
sicché:
\( \displaystyle \sup_{\text{arg} z \in ]0,\pi [} \left| \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z}\right| \leq \frac{C}{|z|^{N-1}} \)
e perciò:
\( \displaystyle \lim_{z\to \infty,\ \text{Im} z>0} \frac{z}{p(z)}\ e^{-\jmath \omega z} =0\ \text{uniformemente risp. ad $\text{arg} z$} \) .
Applicando il suddetto lemma di Jordan dalla (A) segue \( \displaystyle \hat{u}(\omega)=0 \) per \( \displaystyle \omega \leq 0 \) .
3. In maniera del tutto analoga si dimostra che \( \displaystyle \hat{u}(\omega) =0 \) per \( \displaystyle \omega >0 \) .
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Basta integrare sulla frontiera del semicerchio \( \displaystyle D^-(r) \coloneq \{ z\in \CC:\ \text{$|z|
4. Per continuità si ha anche \( \displaystyle \hat{u}(0)=0 \) .
5. Pertanto \( \displaystyle \hat{u}(\omega) =0 \) identicamente in \( \displaystyle \mathbb{R} \) e, per la (I), si ha anche \( \displaystyle u(t)=0 \) identicamente in \( \displaystyle \mathbb{R} \) . Ma ciò è palesemente assurdo in quanto \( \displaystyle u(t)=\tfrac{1}{p(t)} \neq 0 \) per ogni \( \displaystyle t\in \mathbb{R} \) .
Ne viene che ogni polinomio di grado \( \displaystyle \geq 2 \) ha da avere qualche zero in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , come volevamo. \( \displaystyle \square \)
__________
* Infatti, se \( \displaystyle p(z) \) fosse di primo grado, esso avrebbe un unico zero complesso, contro l'ipotesi.
4. Per continuità si ha anche \( \displaystyle \hat{u}(0)=0 \) .
5. Pertanto \( \displaystyle \hat{u}(\omega) =0 \) identicamente in \( \displaystyle \mathbb{R} \) e, per la (I), si ha anche \( \displaystyle u(t)=0 \) identicamente in \( \displaystyle \mathbb{R} \) . Ma ciò è palesemente assurdo in quanto \( \displaystyle u(t)=\tfrac{1}{p(t)} \neq 0 \) per ogni \( \displaystyle t\in \mathbb{R} \) .
Ne viene che ogni polinomio di grado \( \displaystyle \geq 2 \) ha da avere qualche zero in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , come volevamo. \( \displaystyle \square \)
__________
* Infatti, se \( \displaystyle p(z) \) fosse di primo grado, esso avrebbe un unico zero complesso, contro l'ipotesi.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
