Dimostrazione della diseguaglianza di Bernoulli per induzion

Messaggioda GundamRX91 » 11/08/2009, 08:03

$(1+x)^n>=1+nx$ per $n>=0$, ${x in RR}$, $x>=-1$

Provando per n=0 non ci sono problemi: $(1+x)^0>=1+0x$, da cui $1>=1$, quindi e' senz'altro vero.
Supponendo quindi che sia vera anche per n, provo per n+1, e qui vengono i problemi....
Sul Precalculus vengono indicati questi passaggi:

$(1+x)^(n+1)=(1+x)(1+x)^n>=$ in quanto visto come prodotto di potenze con eguale base; poi prosegue
$>=(1+x)(1+nx)=1+(n+1)x+x^2>=1+(n+1)x$

e qui mi perdo..... Non capisco la prima parte della diseguaglianza, cioe' come ci e' arrivato a $(1+x)(1+nx)$ perche' io avrei scritto solo:
$(1+x)(1+x)^n>=1+(n+1)x$
"E' sempre vero? Ci sono dei casi in cui l'enunciato è falso?"
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Messaggioda ViciousGoblin » 11/08/2009, 08:36

$(1+x)(1+x)^n\geq (1+x)(1+nx)$ perche' stai ipotizzando (induttivamente) che $(1+x)^n\geq 1+nx$ e perche' hai preso $x>-1$ (per cui $1+xgeq0$.
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To the east there is a round green door.
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>GO EAST
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Messaggioda GundamRX91 » 11/08/2009, 09:23

E quindi al posto di $(1+x)^n$ sta sostituendo $1+nx$ ??
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Messaggioda Steven » 11/08/2009, 11:26

GundamRX91 ha scritto:E quindi al posto di $(1+x)^n$ sta sostituendo $1+nx$ ??

Sì esatto.
"Sostituendo" $1+nx$ a $(1+x)^n$ sei sicuro di ottenere qualcosa di più piccolo (non hai problemi perché $1+x$ è non negativo e non rischi guai con il segno).

Ciao. :wink:
Steven
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