Dimostrazione di una proposizione di Teoria degli Insiemi

[davi2892]

Salve a tutti. Vorrei gentilmente sapere se qualcuno di voi è in grado di dimsotrare questa proposizione senza utilizzare l'assioma della scelta:

Siano S e T insiemi non vuoti e sia f: S-->T un'applicazione. Se f è suriettiva,allora esiste un'applicazione g: T-->S tale che f composto g= iotaT(Relazione identica che va da T in T).

[Martino]

Non è possibile dato che l'assioma della scelta è equivalente al fatto che ogni funzione suriettiva ha un'inversa destra. Vedi qui. Ciao.

[davi2892]

Mah,vai a capirci qualcosa: in classe ad Algebra 1 mi sembra l'abbia dimostrata senza assioma della scelta. Vabè mi sarò sbagliato. Grazie della risposta.

[garnak.olegovitc]

Salve davi2892,

Mah,vai a capirci qualcosa: in classe ad Algebra 1 mi sembra l'abbia dimostrata senza assioma della scelta. Vabè mi sarò sbagliato. Grazie della risposta.

forse il docente non lo ha reso esplicito, più volte l'assioma della scelta non è reso noto in alcune dimostrazioni. Esempio, più volte si fà uso della proiezione canonica, ma più volte non si sà che questa deriiva, o è possibile, dall'assioma della scelta.
Cordiali saluti

[davi2892]

Il libro la esplicita fortemente...la studierò così...mi sembra formalmente più corretto.

[garnak.olegovitc]

Salve diva2892,

Il libro la esplicita fortemente...la studierò così...mi sembra formalmente più corretto.

e il docente la esplicita?
Cordiali saluti

[Simonixx]

Scusate, sostanzialmente l'assioma della scelta come influisce in questa dimostrazione? Magari è una domanda banale eh, ma sono curioso !

[Martino]

Ricordo che l'assioma della scelta può essere espresso come segue: se \( \displaystyle \mathcal{F} \) è una famiglia di insiemi non vuoti allora esiste una funzione \( \displaystyle \gamma: \mathcal{F} \to \coprod_{F \in \mathcal{F}} F \) (qui \( \displaystyle \coprod \) indica l'unione disgiunta) con la proprietà che \( \displaystyle \gamma(F) \in F \) per ogni \( \displaystyle F \in \mathcal{F} \) . Tale funzione di solito è chiamata "funzione di scelta". In pratica la funzione non fa altro che scegliere un particolare elemento in ogni insieme della famiglia \( \displaystyle \mathcal{F} \) .

Osserviamo che tale funzione \( \displaystyle \gamma \) non è altro che un'inversa destra della funzione suriettiva (canonica) \( \displaystyle f: \coprod_{F \in \mathcal{F}} F \to \mathcal{F} \) che manda \( \displaystyle x \) nell'unico elemento \( \displaystyle F \in \mathcal{F} \) tale che \( \displaystyle x \in F \) .

Viceversa, data \( \displaystyle f:A \to B \) suriettiva, per creare \( \displaystyle g:B \to A \) tale che \( \displaystyle f \circ g = \text{id}_B \) bisogna prendere la famiglia delle controimmagini di \( \displaystyle f \) e scegliere in ciascuna un elemento. In altre parole detta \( \displaystyle C_b \) la controimmagine di \( \displaystyle b \in B \) , cioè \( \displaystyle C_b := \{a \in A\ |\ f(a)=b\} \) , definiamo \( \displaystyle \mathcal{F} = \{C_b\ |\ b \in B\} \) , prendiamo \( \displaystyle \gamma \) come sopra e definiamo \( \displaystyle g(b) := \gamma(C_b) \) .

[G.D.]

Piccolo OT
Ricordo che c'era una volta un topic che aveva come oggetto l'AC in questa sezione anche se non ricordo dettagliatamente a proposito di quale particolare aspetto dell'AC si discuteva. Mi pare che ad iniziarlo fu uno tra dissonance e fu^2. Così, tanto per curiosità, non è che qualcuno sa a quale topic faccio riferimento? Lo so che è la tipica manifestazione del mio contorsionismo mentale, però non lo trovo.

[Martino]

Forse parli di questo?