Dimostrazione: Distanza di un punto da una retta

Messaggioda *totò » 23/02/2008, 16:40

Ciao ragà, sapreste dimostrarmi come si arriva alla formula che esprime la di stanza di un punto $P_0=(x_0, y_0)$ e una retta $y=mx + q$?

LA FORMULA FINALE E' LA SEGUENTE:

$d=|(y_0-mx_0-q)|/(sqrt(1+m^2)$

oppure

$d=|(ax_0-by_0+c)|/(sqrt(a^2+b^2)$

Per ringraziarvi vi calcolo l'equazione della retta che passa per il Punto G e parallela al piano individuato dal letto...può servire per una migliore performance e non sbagliare buco...
*totò
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Messaggioda NOKKIAN80_ » 23/02/2008, 18:55

sia
$ay+bx+c=0$ una qualsiasi retta del piano, in forma esplicita si può scrivere $y=-b/ax-c/a$
ora la retta ad essa perpendicolare passante per il punto $P(x_0,y_0)$ si dovrebbe scrivere, se non ricordo male

$y-y_0=a/b(x-x_0)

ora risolvi il sistema
${(y=-b/ax-c/a),(y-y_0=a/b(x-x_0)):}
calcoli le coordinate del punto di intersezione delle due rette, dopodichè applicando il teorema di pitagora calcoli la distanza tra i due punti, e dovrebbe venire quella formuletta lì. se hai fatto bene i calcoli ti dovrebbe venire un foglio protocollo di calcoli
NOKKIAN80_
 

Messaggioda Martino » 23/02/2008, 23:23

Molto bella la dimostrazione di Silvestro.

Propongo anche la mia.
Ricordo che la distanza tra un punto P ed una retta r è per definizione $min \{d(P,Q)\ |\ Q \in r\}$, dove $d(P,Q)$ indica la distanza tra P e Q. Insomma, la distanza tra P ed r è il minimo delle distanze di P dai punti di r.

Mi metto nella situazione in cui l'equazione della retta (sia essa r) è $y=mx+q$. Sia $P=(x_0,y_0)$. Sia $Q=(x,mx+q)$ un punto della retta r.

Allora abbiamo che la distanza al quadrato tra P e Q vale

$d(P,Q)^2 = |P-Q|^2 = (x-x_0)^2+(mx+q-y_0)^2$

Dobbiamo trovare quel x che minimizza tale quantità (minimizzare una distanza è equivalente a minimizzarne il quadrato). Tale quantità si può riscrivere così:

$d(P,Q)^2 = x^2-2x_0x+m^2x^2+2mxq-2mxy_0+f(x_0,q,y_0)$

dove $f(x_0,q,y_0)=x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0$ è una quantità che non dipende da x. Dobbiamo allora minimizzare $(1+m^2)x^2-2(x_0-mq+my_0)x$. Ma una quantità del tipo $ax^2+bx$ con $a>0$ è minimizzata quando $x=-b/(2a)$ (geometricamente è l'ascissa del vertice della parabola rivolta verso l'alto rappresentata dall'equazione $y=ax^2+bx$), e quindi il valore minimo è $b^2/(4a)-b^2/(2a) = -b^2/(4a)$. Nel nostro caso $a=1+m^2$ e $b=-2(x_0-mq+my_0)$, quindi la distanza al quadrato minimizzata vale

$d(P,r)^2 = d(P,Q_{min})^2 = -(x_0-mq+my_0)^2/(1+m^2)+x_0^2+q^2+y_0^2-2qy_0 = $ (... meri conti ...) $ = (q-y_0+mx_0)^2/(1+m^2)$

Estraendo le radici quadrate si ottiene il risultato.

In effetti la parte dei meri conti è quella che mi piace meno della mia dimostrazione, e quella che me la fa bocciare rispetto a quella di Silvestro.

Ciao.

Edito: faccio notare che non ho utilizzato il Calcolo nella dimostrazione: il fatto che il valore minimo di $ax^2+bx$ (qui a>0) sia quello corrispondente a $x=-b/(2a)$ si può dimostrare in maniera totalmente algebrica: $ax^2+bx = 1/a (a^2x^2+abx) = 1/a ((ax+b/2)^2-b^2/4) = (ax+b/2)^2/a-b^2/(4a) ge -b^2/(4a)$. Si ha "=" se e solo se il primo addendo (sempre positivo o nullo) è nullo, ovvero $x=-b/(2a)$.
Ultima modifica di Martino il 24/02/2008, 12:08, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Gaal Dornick » 24/02/2008, 10:37

Nella formula finale prima dell'editazione, non manca un quadrato al primo membro?
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Messaggioda Martino » 24/02/2008, 12:09

Gaal Dornick ha scritto:Nella formula finale prima dell'editazione, non manca un quadrato al primo membro?


Non so se ti riferivi a me, in ogni caso mancava un quadrato, ho editato :D
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Messaggioda *totò » 25/02/2008, 20:19

Una domanda:
Ma l'equazione $a(x-x_0)+b(y-y_0))=0$ non è l'equazione della retta per $P_0=(X_0,Y_0)$ e perpendicolare ad un vettore,o è il vettore perpendicolare alla retta? (non è la stessa cosa vero??)

Ho trovato anche questa dimostrazione:

Sia fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale;
Sia $ax+by+c=0$ l'equazione di una retta e $P_0=(x_0,y_0)$ un punto

qualunque.

Detto $P_1=(x_1,y_1)$ un punto di $r$ deve accadere per la condizione

di appartenenza, che $ax_1+by_1+c=0$, da cui $c=-ax_1-by_1$. Sostituendo

tale valore all'equazione data si ha $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$.
La distanza $d(P_0,r)$ è data dal valore assoluto della proiezione del

vettore $[P_1,P_0]$ su un versore $n^'=(ai+bj)/(sqrt(a^2+b^2))$

perpendicolare alla retta $r$.

Si ha quindi

$d(P_0,r)=|[P_1,P_0] text(scalare)(ai+bj)/(sqrt(a^2+b^2))|=|(a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1))/(sqrt(a^2+b^2))|$

Tenuto conto che $c=-ax_1-by_1$ si ottiene la formula finale

$d=|((a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1))/(sqrt(a^2+b^2)))|$
*totò
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Messaggioda magliocurioso » 21/08/2008, 14:29

Come si potrebbe estendere nello spazio questo problema bidimensionale?
"Considerate la vostra semenza:
fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"

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Messaggioda franced » 22/08/2008, 01:00

magliocurioso ha scritto:Come si potrebbe estendere nello spazio questo problema bidimensionale?



Semplice: la distanza $d$ del punto $(x_0,y_0,z_0)$ dal piano $ax+by+cz+h=0$ è uguale a

$d = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + h|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$
Francesco Daddi

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Messaggioda magliocurioso » 22/08/2008, 09:25

Ovviamente mi riferivo alla dimostrazione :-D
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Messaggioda magliocurioso » 22/08/2008, 09:32

Ecco, nella fretta mi sono dimenticato di scrivere questo: mi pare di aver letto su qualche dispensa che non esiste un'esplicita formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta nello spazio [ma non ne sono sicuro al 100%] e che quindi di volta in volta bisogna ""ingegnersi un procedimento ad hoc"" per risolvere uno specifico problema. Se così è ogni volta bisognerebbe dimostrare le formule usate ma mi pare strano. Il mio dubbio è: come si potrebbe dimostrare che tale formula non esiste oppure che esiste?
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