Dimostrazione disuguaglianza - SNS1991

[elios]

Salve a tutti. Ho questo problema:

"Provare che per ogni numero intero \( \displaystyle {n}\ge{2} \), si ha \( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{{n}!}}}\lt\frac{{{n}+{1}}}{{2}} \)" .

Essendoci una disequazione in \( \displaystyle {n} \) numero intero, ho pensato che si potesse dimostrarla con il principio di induzione. Quindi ipotizzando che sia vera per \( \displaystyle {n} \), provo a dimostrare che sia vera per \( \displaystyle {n}+{1} \).
\( \displaystyle {\sqrt[{{n}+{1}}]{{{n}+{1}}}}!\lt\frac{{{n}+{2}}}{{2}} \)
Il primo membro può essere scritto come \( \displaystyle {\sqrt[{{n}+{1}}]{{{n}!}}}\cdot{\sqrt[{{n}+{1}}]{{{n}+{1}}}} \).
Per ogni \( \displaystyle {n} \) si ha che \( \displaystyle {\sqrt[{{n}+{1}}]{{{n}!}}} \) è minore di \( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{{n}!}}} \) , che per ipotesi è minore di \( \displaystyle \frac{{{n}+{1}}}{{2}} \). Quindi
\( \displaystyle {\sqrt[{{n}+{1}}]{{{n}!}}}\lt\frac{{{n}+{1}}}{{2}} \).
E' solo che quella parte è moltiplicata per un'altra radice, quindi non so più come andare avanti..

Grazie mille dell'aiuto, sempre prezioso.

[mod="@melia"]Ti ho corretto le radici e ho tolto le tue precisazioni, altrimenti il testo risultava di difficile comprensione, spero di non aver fatto pasticci[/mod]

[dissonance]

Butto lì un'idea molto generica, senza riflettere: al membro sinistro della disuguaglianza da dimostrare compare una media geometrica:

\( \displaystyle \displaystyle \left( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \right)^\frac{1}{n} \)

Hai provato a giocare con le disuguaglianze standard tra medie?

[blackbishop13]

direi che l'idea di dissonance è risolutiva, se sai che

\( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{{\prod_{{{i}={1}}}^{{{n}}}}{x}_{{i}}}}}\le\frac{{{\sum_{{{i}={1}}}^{{{n}}}}{x}_{{i}}}}{{n}} \)

e questa è proprio la nota disuguaglianza AM-GM (la prima è la media geometrica, la seconda è la media aritmetica)

in due passaggi hai finito.

P.S. bentornata elios, ci mancavano i quesiti SNS!!

[elios]

Grazie mille della correzione al testo e dei suggerimenti! E grazie del bentornata!

Ricapitolando, noto che \( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{{n}!}}} \) è la media geometrica dei primi \( \displaystyle {n} \) numeri naturali, la quale, per AM-GM, è minore della media aritmetica \( \displaystyle \frac{{{1}+{2}+{3}+\ldots+{n}}}{{n}} \). Ricordando che la somma dei primi \( \displaystyle {n} \) numeri naturali (cioè il denominatore della media aritmetica) è \( \displaystyle {n}\frac{{{n}+{1}}}{{2}} \), allora la media aritmetica è \( \displaystyle {n}\frac{{{n}+{1}}}{{2}}\cdot\frac{{1}}{{n}}=\frac{{{n}+{1}}}{{2}} \), come volevasi dimostrare.

Grazie ancora!