dimostrazione equazione di secondo grado

[matematicus95]

quando dimostro la formula risolutiva dell equazioni di secondo grado cioè \( \displaystyle {x}={\frac{{-{b}\pm\sqrt{{{{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}}}}}{{{2}{a}}}} \) allora arrivo al punto: \( \displaystyle {{\left({x}+\frac{{b}}{{2}}{a}\right)}}^{{2}}=\frac{{{{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}} \)
ora il libro porta questo passaggio \( \displaystyle {x}+\frac{{{b}}}{{{2}{a}}}=\pm\frac{\sqrt{{{{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}}}}{{{2}{a}}} \)
per quale principio si toglie un quadrato e si mette \( \displaystyle \pm \) al secondo membro?
io di solito tolgo un quadrato con il principio \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}\Leftrightarrow{a}={b} \) \( \displaystyle {\left({a},{b}\ge{0}\right)} \)

[Gi8]

io di solito tolgo un quadrato con il principio \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}\Leftrightarrow{a}={b} \) \( \displaystyle {\left({a},{b}\ge{0}\right)} \)

Eh, no. la formula giusta è \( \left( a^2 = b^2 \right) \Leftrightarrow \left( a= b \vee a= -b \right) \)

Al di là del motivo matematicamente rigoroso che c'è dietro, vediamo un esempio: \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={4} \)
Secondo te questa equazione ha una sola soluzione, e cioè \( \displaystyle {a}={2} \). Ma noti anche tu che ce n'è sicuramente un'altra, ovvero \( \displaystyle {a}=-{2} \)

[matematicus95]

perchè sul mio libro c'è scritto cosi? mica c'è qualche passaggio intermedio per arrivare alla tua formula?

[Gi8]

Puoi dimostrarlo così: \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={{b}}^{{2}}\Leftrightarrow{{a}}^{{2}}-{{b}}^{{2}}={0}\Leftrightarrow{\left({a}-{b}\right)}{\left({a}+{b}\right)}={0}\Leftrightarrow{a}={b}\vee{a}=-{b} \)

perchè sul mio libro c'è scritto cosi?

Immagino che sul tuo libro ci sia la premessa che \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono numeri non negativi

[matematicus95]

\( \displaystyle {{\left({x}+\frac{{b}}{{{2}{a}}}\right)}}^{{2}}=\frac{{{{b}}^{{2}}−{4}{a}{c}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}} \) forse il passaggio intermedio è questo \( \displaystyle {\left|{\left({x}+\frac{{b}}{{{2}{a}}}\right)}\right|}=\sqrt{{\frac{{{{b}}^{{2}}−{4}{a}{c}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}}}} \) che poi diventa \( \displaystyle {x}+\frac{{b}}{{{2}{a}}}=\pm\frac{\sqrt{{{\left({{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}\right)}}}}{{{2}{a}}} \) per la pr0prietà dei moduli o no?
e poi un'altra cosa, quando tolgo da sotto la radice 4a^2 non mi dovrebbe venire\( \displaystyle {\left|{2}{a}\right|} \) invece di solo \( \displaystyle {2}{a} \) ?

[ELWOOD]

\( \displaystyle {{\left({x}+\frac{{b}}{{{2}{a}}}\right)}}^{{2}}=\frac{{{{b}}^{{2}}−{4}{a}{c}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}} \) forse il passaggio intermedio è questo \( \displaystyle {\left|{\left({x}+\frac{{b}}{{{2}{a}}}\right)}\right|}=\sqrt{{\frac{{{{b}}^{{2}}−{4}{a}{c}}}{{{4}{{a}}^{{2}}}}}} \) che poi diventa \( \displaystyle {x}+\frac{{b}}{{{2}{a}}}=\pm\frac{\sqrt{{{\left({{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}\right)}}}}{{{2}{a}}} \) per la pr0prietà dei moduli o no?
e poi un'altra cosa, quando tolgo da sotto la radice 4a^2 non mi dovrebbe venire\( \displaystyle {\left|{2}{a}\right|} \) invece di solo \( \displaystyle {2}{a} \) ?

Non capisco perchè ragioni sui moduli, Gi8 ti ha spiegato esattamente il motivo di quel passaggio dall'ipotesi sulla radice quadrata.

Ti ha anche detto che supponendo \( \displaystyle {a}\gt{0} \) non c'è bisogno di introdurre il modulo