Dimostrazione formula

[Phaedrus]

Devo dimostrare che l'equazione della tangente a un'ellisse di equazione \( \displaystyle \frac{{{x}}^{{2}}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{{y}}^{{2}}}{{{b}}^{{2}}}={1} \) in un suo punto \( \displaystyle {P}{\left({x}_{{0}};{y}_{{0}}\right)} \) è \( \displaystyle \frac{{{x}_{{0}}{x}}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{{y}_{{0}}{y}}}{{{b}}^{{2}}}={1} \). Suggerimenti?

[elgiovo]

Considera il fascio di rette di centro \( \displaystyle {\left({x}_{{0}},{y}_{{0}}\right)} \). Di queste, una sola sarà tangente all'ellisse, e risponderà ad una certa proprietà.
Prima di leggere, pensa a come potresti fare tu.

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Metti a sistema la generica retta del fascio, nella forma \( \displaystyle {y}-{y}_{{0}}={m}{\left({x}-{x}_{{0}}\right)} \) con l'ellisse. Ti troverai di fronte a un'equazione
di secondo grado (ad esempio in \( \displaystyle {x} \)), perchè le intersezioni retta-ellisse sono due. Ciò che ti interessa è rendere tali intersezioni coincidenti,
e questo si può fare rendendo zero il discriminante dell'equazione. Otterrai allora un'equazione in \( \displaystyle {m} \), che, risolta,
restituirà il coefficiente angolare della retta tangente.

[Phaedrus]

Sì, avevo pensato a questo metodo, ma mi escono dei calcoli mostruosi ora riprovo perché questa formula mi interessa parecchio (mi risparmierebbe parecchi calcoli: però, per usarla, devo dimostrarla, se no non è mica lecita la cosa ).

[elgiovo]

Potrai liberarti dai calcoli solo facendo i primi passi nel magico mondo della derivata...