Dimostrazione isomorfismo gruppi unità

[Taniab]

Qualcuno può darmi un'idea su come dimostrare questo esercizio?
"Dati due anelli \( \displaystyle {\left({A}_{{1}},+,.\right)}{\left({A}_{{2}},+,.\right)} \) entrambi unitari e dato \( \displaystyle \psi:{A}_{{1}}\to{A}_{{2}} \) isomorfismo, dimostrare che \( \displaystyle \psi{\left({U}{\left({A}_{{1}}\right)}\right)}={U}{\left({A}_{{2}}\right)} \) e che \( \displaystyle \psi \) induce per restrizione un isomorfismo di gruppi \( \displaystyle \psi':{U}{\left({A}_{{1}}\right)}\to{U}{\left({A}_{{2}}\right)} \).(con \( \displaystyle {U}{\left({A}_{{1}}\right)},{U}{\left({A}_{{2}}\right)} \) gruppi delle unità rispettivamente di \( \displaystyle {A}_{{1}} \) e \( \displaystyle {A}_{{2}} \))
Grazie !

[killing_buddha]

E' facile e puoi vederlo in molti modi. In effetti, quel che e' sempre vero e' che un omomorfismo di anelli \( \displaystyle \psi:{R}\to{S} \) ne induce uno tra i gruppi delle unita' degli anelli (essenzialmente la ragione e' che per ogni morfismo di semigruppi un invertibile deve andare in un invertibile: \( \displaystyle {1}=\psi{\left({1}\right)}=\psi{\left({a}\cdot{{a}}^{{-{1}}}\right)}=\psi{\left({a}\right)}\cdot\psi{\left({{a}}^{{-{1}}}\right)} \) e analogamente \( \displaystyle \psi{\left({{a}}^{{-{1}}}\right)}\psi{\left({a}\right)}={1} \). A questo punto si invoca il teorema dalla dimostrazione piu' breve in assoluto (l'inverso di un elemento, quando esiste, e' unico) e si conclude che \( \displaystyle \psi{\left({{a}}^{{-{1}}}\right)}=\psi{{\left({a}\right)}}^{{-{1}}} \). []

Ora: se partivi da un isomorfismo, in particolare avevi una biiezione. E una biiezione tra insiemi ne induce una ristretta a qualsiasi sottoinsieme; unisci questo al fatto che \( \displaystyle \psi{\left({U}{\left({R}\right)}\right)}\subseteq{U}{\left({S}\right)} \) e concludi. []

[Taniab]

Ok grazie