Dimostrazione M.C.D. (d e -d)

[UBun]

Salve a tutti, è la prima volta che posto su questo forum, quindi spero mi perdoniate la domanda stupidissima che sto per porvi..
Vorrei sapere in che modo svolgere la seguente dimostrazione sul Massimo Comune Divisore...

Dati due interi a e b non entrambi nulli. Un intero d che verifica queste due condizioni:
1) d|a , d|b
2) Vd'€Z (d'|a , d'|b ----> d'|d)
è per definizione un massimo comune divisore tra a e b.
PROPRIETA': Se d è un massimo comune divisore tra a e b allora l'unico altro massimo comune divisore tra a e b è -d.

Vorrei dimostrare l'ultima proprietà..

Grazie in anticipo a tutti!

[perplesso]

Ciao benvenuto,
da regolamento dovresti postare i tuoi tentativi di dimostrazione o comunque le tue idee, ma essendo il tuo primo post sei perdonato Innanzitutto devi dimostrare che \( \displaystyle -{d} \) è un massimo comun divisore. Come? Applica la definizione ! Poi ti do un indizio, sappi che se \( \displaystyle {m} \) e \( \displaystyle {n} \) sono due numeri interi che si dividono mutuamente cioè tali che \( \displaystyle {m}{\mid}{n} \) e \( \displaystyle {n}{\mid}{m} \) allora \( \displaystyle {m}=\pm{n} \) Pensaci un pò, è facile!

[GundamRX91]

La dimostrazione la puoi "vedere" anche tramite l'identità di Bèzout.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano \( \displaystyle {a},{b}\in\mathbb{Z} \) e sia \( \displaystyle {d}={\left({a},{b}\right)} \) il massimo comune divisore. Esistono allora due interi \( \displaystyle {r},{s}\in\mathbb{Z} \) tali che \( \displaystyle {a}{r}+{b}{s}={d} \)

Sia \( \displaystyle {D}={a}\mathbb{Z}+{b}\mathbb{Z}={\left\lbrace{a}{x}+{b}{x}{\mid}{x},{y}\in\mathbb{Z}\right\rbrace} \).
\( \displaystyle {D} \) è chiuso rispetto l'addizione: \( \displaystyle {a}{x}+{b}{y}={b}{y}+{a}{x}\in{D} \);
ammette l'elemento neutro: \( \displaystyle {a}{0}+{b}{0}={0}\in{D} \);
ammette l'elemento opposto: \( \displaystyle {a}{\left(-{x}\right)}+{b}{\left(-{y}\right)}\in{D} \).
Equivalentemente \( \displaystyle {D} \) è chiuso rispetto la sottrazione.
Quindi \( \displaystyle {D}={d}\mathbb{Z} \) per \( \displaystyle {0}\lt{d}\in\mathbb{Z} \).
Per definizione di \( \displaystyle {d}\mathbb{Z} \) \( \displaystyle {d} \) è il più piccolo intero di \( \displaystyle {D} \), per cui esistono due interi \( \displaystyle {r},{s}\in\mathbb{Z} \) tali che
\( \displaystyle {a}{r}+{b}{s}={d} \), e siccome \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono multipli di \( \displaystyle {d} \) allora \( \displaystyle {d}{\left|{a}\wedge{d}\right|}{b} \).
Da ipotesi \( \displaystyle {d}={M}{C}{D}{\left({a},{b}\right)} \) quindi
\( \displaystyle \exists{c}\in\mathbb{Z} \) tale che \( \displaystyle {c}{\mid}{a} \) e \( \displaystyle {c}{\mid}{b} \), quindi \( \displaystyle \exists{k}\in\mathbb{Z}{\mid}{a}={k}{c} \), \( \displaystyle \exists{h}\in\mathbb{Z}{\mid}{b}={h}{c} \)
da cui
\( \displaystyle {a}{r}+{b}{s}={d}\to{k}{c}{r}+{h}{c}{s}={d}\to{c}{\left({k}{r}+{h}{s}\right)}={d}\Rightarrow{c}{\mid}{d} \)
come da definizione di massimo comune divisore.

[perplesso]

Ma non è un pò troppo scomodare l'identità di Bezout per una banalità?

Comunque non mi è chiaro qualche passaggio

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quindi \( \displaystyle {D}={d}\mathbb{Z} \) per \( \displaystyle {0}\lt{d}\in\mathbb{Z} \).

Questo lo dovresti motivare, cosa mi impedisce di pensare che sia \( \displaystyle {D}={c}{Z} \) per un qualsiasi altro \( \displaystyle {c} \) divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) ? Insomma dove sta scritto che \( \displaystyle {D} \) deve coincidere proprio con il sottogruppo dei multipli di \( \displaystyle {d} \) ?

da cui
\( \displaystyle {a}{r}+{b}{s}={d}\to{k}{c}{r}+{h}{c}{s}={d}\to{c}{\left({k}{r}+{h}{s}\right)}={d}\Rightarrow{c}{\mid}{d} \)
come da definizione di massimo comune divisore.

Se sei arrivato di nuovo alla definizione di mcd che gia conoscevamo a che cosa è servito tutto questo giro? Bastava dire \( \displaystyle {c} \) divide \( \displaystyle {d} \) per definizione. Anzi aspetta mi dai la tua definizione di mcd ? Perchè altrimenti non capisco il senso di tutta l'operazione

Grazie per i chiarimenti.

[GundamRX91]

Ma non è un pò troppo scomodare l'identità di Bezout per una banalità?

In effetti ho avuto anche io le stesse perplessità, ma non ho più avuto modo di chiedere chiarimenti a chi mi aveva
fornito gli appunti di tale.... "visione"
Comunque da quello che ho capito (se ho capito bene ) è solo una parte di Bèzout che serve per dimostrare l'esistenza del MCD.

Comunque non mi è chiaro qualche passaggio

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quindi \( \displaystyle {D}={d}\mathbb{Z} \) per \( \displaystyle {0}\lt{d}\in\mathbb{Z} \).

Questo lo dovresti motivare, cosa mi impedisce di pensare che sia \( \displaystyle {D}={c}{Z} \) per un qualsiasi altro \( \displaystyle {c} \) divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) ? Insomma dove sta scritto che \( \displaystyle {D} \) deve coincidere proprio con il sottogruppo dei multipli di \( \displaystyle {d} \) ?

Si può motivare dal fatto che per il principio del buon ordinamento \( \displaystyle {D} \) ammette minimo, e tale minimo è proprio \( \displaystyle {d} \) che è nella forma \( \displaystyle {a}{x}_{{0}}+{b}{y}_{{0}} \) per \( \displaystyle {x}_{{0}},{y}_{{0}}\in\mathbb{Z} \)

da cui
\( \displaystyle {a}{r}+{b}{s}={d}\to{k}{c}{r}+{h}{c}{s}={d}\to{c}{\left({k}{r}+{h}{s}\right)}={d}\Rightarrow{c}{\mid}{d} \)
come da definizione di massimo comune divisore.

Se sei arrivato di nuovo alla definizione di mcd che gia conoscevamo a che cosa è servito tutto questo giro? Bastava dire \( \displaystyle {c} \) divide \( \displaystyle {d} \) per definizione. Anzi aspetta mi dai la tua definizione di mcd ? Perchè altrimenti non capisco il senso di tutta l'operazione

Hai ragione, anche perchè la dimostrazione di Bèzout ha come ipotesi il \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({a},{b}\right)} \) , quindi non ha molto senso.
Forse ho fatto male a riportare questa dimostrazione....

@Ubun: è meglio se non ne tieni conto.

Grazie per i chiarimenti.

[UBun]

Ma non è un pò troppo scomodare l'identità di Bezout per una banalità?

In effetti ho avuto anche io le stesse perplessità, ma non ho più avuto modo di chiedere chiarimenti a chi mi aveva
fornito gli appunti di tale.... "visione"
Comunque da quello che ho capito (se ho capito bene ) è solo una parte di Bèzout che serve per dimostrare l'esistenza del MCD.

Comunque non mi è chiaro qualche passaggio

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quindi \( \displaystyle {D}={d}\mathbb{Z} \) per \( \displaystyle {0}\lt{d}\in\mathbb{Z} \).

Questo lo dovresti motivare, cosa mi impedisce di pensare che sia \( \displaystyle {D}={c}{Z} \) per un qualsiasi altro \( \displaystyle {c} \) divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) ? Insomma dove sta scritto che \( \displaystyle {D} \) deve coincidere proprio con il sottogruppo dei multipli di \( \displaystyle {d} \) ?

Si può motivare dal fatto che per il principio del buon ordinamento \( \displaystyle {D} \) ammette minimo, e tale minimo è proprio \( \displaystyle {d} \) che è nella forma \( \displaystyle {a}{x}_{{0}}+{b}{y}_{{0}} \) per \( \displaystyle {x}_{{0}},{y}_{{0}}\in\mathbb{Z} \)

da cui
\( \displaystyle {a}{r}+{b}{s}={d}\to{k}{c}{r}+{h}{c}{s}={d}\to{c}{\left({k}{r}+{h}{s}\right)}={d}\Rightarrow{c}{\mid}{d} \)
come da definizione di massimo comune divisore.

Se sei arrivato di nuovo alla definizione di mcd che gia conoscevamo a che cosa è servito tutto questo giro? Bastava dire \( \displaystyle {c} \) divide \( \displaystyle {d} \) per definizione. Anzi aspetta mi dai la tua definizione di mcd ? Perchè altrimenti non capisco il senso di tutta l'operazione

Hai ragione, anche perchè la dimostrazione di Bèzout ha come ipotesi il \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({a},{b}\right)} \) , quindi non ha molto senso.
Forse ho fatto male a riportare questa dimostrazione....

@Ubun: è meglio se non ne tieni conto.

Grazie per i chiarimenti.

Ho provato a cercare di capire un po', ma purtroppo mi sono confuso ancor di più!
Grazie comunque per l'impegno!

Ciao benvenuto,
da regolamento dovresti postare i tuoi tentativi di dimostrazione o comunque le tue idee, ma essendo il tuo primo post sei perdonato Innanzitutto devi dimostrare che \( \displaystyle -{d} \) è un massimo comun divisore. Come? Applica la definizione ! Poi ti do un indizio, sappi che se \( \displaystyle {m} \) e \( \displaystyle {n} \) sono due numeri interi che si dividono mutuamente cioè tali che \( \displaystyle {m}{\mid}{n} \) e \( \displaystyle {n}{\mid}{m} \) allora \( \displaystyle {m}=\pm{n} \) Pensaci un pò, è facile!

Quindi provo a dimostrare il tutto applicando la definizione e aggiungendo alla fine l'equivalenza \( \displaystyle {m}=\pm{n} \), giustificandola con se \( \displaystyle {m} \) e \( \displaystyle {n} \) tali che \( \displaystyle {m}{\mid}{n} \) e \( \displaystyle {n}{\mid}{m} \)?

[perplesso]

Si la strategia è quella , il primo passo è dimostrare che \( \displaystyle -{d} \) è un mcd, poi applicando quel fatto che ti ho detto fai vedere che se \( \displaystyle {c} \) è un mcd di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) alora \( \displaystyle {c}=\pm{d} \) Ti metto la dimostrazione in spoiler

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ovviamnete \( \displaystyle -{d} \) è un divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \), inoltre ogni altro divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) divide \( \displaystyle {d} \) e quindi divide anche \( \displaystyle -{d} \). Pertanto \( \displaystyle -{d} \) è un mcd. Sia \( \displaystyle {c} \) un qualsiasi altro mcd di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) allora per definizione \( \displaystyle {c}{\mid}{d} \) e \( \displaystyle {d}{\mid}{c} \) pertanto \( \displaystyle {c}=\pm{d} \)

[UBun]

Si la strategia è quella , il primo passo è dimostrare che \( \displaystyle -{d} \) è un mcd, poi applicando quel fatto che ti ho detto fai vedere che se \( \displaystyle {c} \) è un mcd di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) alora \( \displaystyle {c}=\pm{d} \) Ti metto la dimostrazione in spoiler

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ovviamnete \( \displaystyle -{d} \) è un divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \), inoltre ogni altro divisore comune di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) divide \( \displaystyle {d} \) e quindi divide anche \( \displaystyle -{d} \). Pertanto \( \displaystyle -{d} \) è un mcd. Sia \( \displaystyle {c} \) un qualsiasi altro mcd di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) allora per definizione \( \displaystyle {c}{\mid}{d} \) e \( \displaystyle {d}{\mid}{c} \) pertanto \( \displaystyle {c}=\pm{d} \)

Ora ho capito perfettamente! Grazie mille!