Dimostrazione per la Formula di Grassmann Affine

da **Fedecart** » 18/03/2010, 20:15

Ho cercato per una buona mezzora in rete, senza trovare nessun risultato. Mi servirebbe una dimostrazione della formula di Grassmann affine, ovvero che in uno spazio affine \( \displaystyle A^n \) vale:
\( \displaystyle dim(L \vee M) \leq dim L + dim M - dim (L \cap M). \)
Dove L ed M sono sottovarità lineari.
Un grazie anticipato a chiunque voglia postare la dimostrazione, parte di essa, oppure mi consigli un file su cui è spiegata...

da **cirasa** » 18/03/2010, 21:23

Le due sottovarietà sono individuate da un punto base e dallo spazio direttore.
Supponiamo che \( \displaystyle L\sim(A,V) \) e \( \displaystyle M\sim(B,W) \) dove \( \displaystyle A\in L \) , \( \displaystyle B\in W \) e \( \displaystyle V,W \) sono gli spazi direttori di \( \displaystyle L, M \) risp.
Dovresti sapere che \( \displaystyle L\vee M\sim(A,V+W+\overline{AB}) \) , quindi
(1) \( \displaystyle \dim(L\vee M)=\dim(V+W+\overline{AB}) \) .
Inoltre \( \displaystyle \dim(L\cap M)=\dim(V\cap W) \) .

Per la dimostrazione distingui i due casi:
a) \( \displaystyle L\vee M\neq\emptyset \)
b) \( \displaystyle L\vee M=\emptyset \)
Nel primo caso, prova che \( \displaystyle \overline{AB}\in V+W \) . Quindi
(2) \( \displaystyle V+W+\overline{AB}=V+W \) .
Nel secondo caso, prova (per esempio per assurdo) che \( \displaystyle \overline{AB}\notin V+W \) . Quindi
(3) \( \displaystyle (V+W)\cap<\overline{AB}>=\{0\} \) .
Ora devi solo usare la (1), l'identità di Grassmann e la (2) oppure la (3) a seconda dei casi.
Nel primo caso dovresti ottenere che
\( \displaystyle \dim(L\vee M)=\dim L+\dim M-\dim(L\cap M) \) .
Nel secondo caso
\( \displaystyle \dim(L\vee M)=\dim L+\dim M-\dim(L\cap M)+1 \) .
Prova un po'. Se hai problemi facci sapere.