Dimostrazione proprietà operazioni in Z

[slyb]

Salve,
come posso procedere per dimostrare se l'operazione * definita in Z da a*b = 13ab+3a+4b è o non è commutativa

secondo me è commutativa
13ab+3a+4b=13ba+3a+4b

Ma oltre questo non so come procedere.

Grazie B.

[vict85]

Controesempio...

a=1
b=2

a*b = 26 + 3 + 8 = 37
b*a = 26 + 6 + 4 = 36

Ma per una dimostrazione comunque basta ugualiare le due equazioni

\( \displaystyle {13}{x}{y}+{3}{x}+{4}{y}={13}{y}{x}+{3}{y}+{4}{x} \)
\( \displaystyle {3}{\left({x}-{y}\right)}+{4}{\left({y}-{x}\right)}={0} \)
\( \displaystyle {z}={y}-{x} \)
\( \displaystyle {4}{z}-{3}{z}={0} \)
\( \displaystyle {z}={0} \)
Quindi è commutativa solo per \( \displaystyle {x}={y} \)... E quindi non è un'operazione commutativa.

[slyb]

Ciao,
grazie per la risposta ...........ho solo un piccolo dubbio, perchè nella dimostrazione inverti anche a e b negli ultimi due termini dell'equazione?
Io avevo pensato che l'unica operazione a*b da considerare e da verificare fosse la prima (13ab).
Gli altri due termini (+3a+4b) non sono da ignorare dato che non contengono l'operazione a*b?
Ciao Grazie

[mistake89]

se pensi a come è definita la tua operazione:

\( \displaystyle \cdot:\mathbb{Z}{x}\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} \)
\( \displaystyle \cdot{\left({a},{b}\right)}={13}{a}{b}+{3}{a}+{4}{b} \)

mentre invertendo gli elementi della coppia questa diventa
\( \displaystyle \cdot{\left({b},{a}\right)}={13}{b}{a}+{3}{b}+{4}{a} \)

la motivazione dovrebbe essere questa

[vict85]

Ciao,
grazie per la risposta ...........ho solo un piccolo dubbio, perchè nella dimostrazione inverti anche a e b negli ultimi due termini dell'equazione?
Io avevo pensato che l'unica operazione a*b da considerare e da verificare fosse la prima (13ab).
Gli altri due termini (+3a+4b) non sono da ignorare dato che non contengono l'operazione a*b?
Ciao Grazie

Quello che devi testare è che \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}={\left({y},{x}\right)} \). Se preferisci invece di operazione puoi considerarla una funzione in \( \displaystyle {\mathbb{Z}}^{{2}} \) (se estendi la funzione ai reali non cambia molto) e vedere se questa funzione è simmetrica rispetto all'asse \( \displaystyle {y}={x} \)...