dimostrazione sui razionali

[angus89]

allora

\( \displaystyle {{a}}^{{3}}+{2}{{b}}^{{3}}+{4}{{c}}^{{3}}={8}{a}{b}{c} \)
per \( \displaystyle {a},{b},{c} \) razionali dimostrare che l'unica soluzione è
\( \displaystyle {a}={b}={c}={0} \)

[fedeb]

i test sns si distinguono sempre ehhhhhhh???
secondo me devi sfruttare le disuguaglianze tra le medie, pero c'ho provato senza dimostrare nulla (i calcoli sono troppo lunghi)... dovresti riuscire a dimostrare cosi che LHS>RHS per ogni a,b,c diversi da zero.
se hai qualche altro problemino sul genere ti pregherei di postarlo oppure di inviarmelo via mp.
grazie

[angus89]

mi diapiace ma con le medie non si và da nessuna parte...
è proprio la strada sbagliata...

LHS>RHS???
che vuoi dire?

[angus89]

nessuno?!

[Tipper]

(L/R)HS = (Left/Right) Hand Side.

[fedeb]

LHS è la parte a sinistra dell'uguale.RHS dovresti intuirlo...
riguardo al problema, quale strada da seguire suggerisci??

[fu^2]

i test sns si distinguono sempre ehhhhhhh???
secondo me devi sfruttare le disuguaglianze tra le medie, pero c'ho provato senza dimostrare nulla (i calcoli sono troppo lunghi)... dovresti riuscire a dimostrare cosi che LHS>RHS per ogni a,b,c diversi da zero.
se hai qualche altro problemino sul genere ti pregherei di postarlo oppure di inviarmelo via mp.
grazie

se \( \displaystyle {a}={b}={c}={1}\Rightarrow{R}{H}{S}\gt{L}{H}{S} \)

quindi la disuguaglianza che vuoi provare è falsa in generale...

[fu^2]

io ho provato per poco tempo.. magari riproverò, a provare a scomporre la parte a sinistra, senza ottenere neulla di utile però...

una strada potrebbe essere questa


già che siam quasi in tema....
la somma di 2 cubi si scompone facilmente, ma la somma di tre cubi si può scomporre?

[fedeb]

fu^2, con la disuguaglianza che mi hai contestato cercavo semplicemente di chiarificare il mio intento nella dimostrazione:
non pretendevo che fosse vera . ma angus89 , tu l'hai risolto??

[angus89]

allora...
Ho detto che con le formule sulle medie non si arriva da nessuna parte per un semplice motivo...
Tutte quelle disuguaglianze valgono per i numeri reali...e anche per i razionali(logico)
Ma se crediamo di poter dimostrare una cosa simile con le disuguaglianze tentiamo l'impossibile...
Faccio notare che tra i numeri reali esistono infinite soluzioni...
E' tra i razionali che ne esiste solo una...

Quindi bisogna cambiare approccio...
Magari per qualcuno utilizzare AM-GM potrebbe esser utile, diciamo che restringe un pò il campo, ma fino ad un certo punto...