Dimostrazione sui sottospazi affini

[Hop Frog]

Ho una dimostrazione sui sottospazi affini che non riesco a concludere...

Siano E,F due k-spazi vettoriale, A sottospazio affine di F e u:E -> F applicazione affine.
Dimostrare che la controimmagine di A rispetto u è un sottospazio affine di E.

Io ho iniziato a definire questo insieme, ovvero:
\( \displaystyle u^{-1}(A) = {x \in E | u(x) \in A } \)
Devo dunque trovare un sottospazio vettoriale tale che questo insieme appena definito sia il traslato di questo ssv.
Mi è anche venuto in mente che l insieme appena definito si può riscrivere così:
\( \displaystyle u^{-1}(A) = {x \in E | u(x) = s+a } \)
, dove s è un elemento di un ssv S e a è un vettore tale che:
u(x)=v(x)+a
capito cosa intendo? la definizione di applicazione lineare..
tutto questo va bene o sono proprio fuori strada??

[mistake89]

Non è detto che io ti sappia aiutare, però il messaggio non è molto chiaro. Hai detto sottospazio affine di uno spazio vettoriale (il che non ha senso), l'applicazione \( \displaystyle {u} \) è definita in qualche modo? e \( \displaystyle {v}{\left({x}\right)} \) cos'è?
Scusami ma non riesco a capire. Se potessi scrivere la tratta per intero e precisamente sarebbe meglio.

[apatriarca]

\( \displaystyle {A} \) è un sottospazio affine e quindi è il traslato di un qualche sottospazio vettoriale \( \displaystyle {W}\subseteq{F} \) per un qualche vettore \( \displaystyle {a}\in{F} \). A sua volta l'applicazione affine \( \displaystyle {u} \) è composta da una trasformazione lineare invertibile \( \displaystyle \varphi \) e da una traslazione per un vettore \( \displaystyle {v}\in{F} \). Cioè, \( \displaystyle \forall{x}\in{E},{u}{\left({x}\right)}=\varphi{\left({x}\right)}+{v} \). La controimmagine di un elemento \( \displaystyle {y}\in{F} \) è quindi \( \displaystyle {{u}}^{{-{1}}}{\left({y}\right)}={\varphi}^{{-{1}}}{\left({y}-{v}\right)} \).
In particolare,
\( \displaystyle {{u}}^{{-{1}}}{\left({A}\right)}={{u}}^{{-{1}}}{\left({a}+{W}\right)}={\varphi}^{{-{1}}}{\left({a}+{W}-{v}\right)}={\varphi}^{{-{1}}}{\left({W}\right)}-{\varphi}^{{-{1}}}{\left({a}-{v}\right)} \).
La controimmagine di \( \displaystyle {A} \) è quindi un sottospazio affine come volevasi dimostrare.