Dimostrazioni e luoghi geometrici

[imagine]

Ho una domanda su un tipo di problemi che riguardano i luoghi geometrici. Vi faccio un esempio, preso da un altro argomento già trattato, per far capire la domanda.
Ci sono due rette parallele r e s. Prendiamo un punto R\( \displaystyle \in \)r e un punto S\( \displaystyle \in \)s. Tracciamo due circonferenze, una tangente a r in R, e una tangente a s in S, in modo che le due circonferenze siano tangenti a loro volta. Bisogna trovare il luogo dei punti di tangenza P tra le due circonferenze al variare di tutte le coppie di circonferenze che rispettano le proprietà sopra descritte.
La mia domanda è: per questi problemi in cui vengono trattati i luoghi geometrici, mi conviene impostare il problema su un piano cartesiano, così ottengo un'equazione in x e y e posso dedurne la forma della curva, oppure mi conviene impostarlo sul piano euclideo, così da ottenere una particolare proprietà del punto P così da capire la caratteristica della curva???

[gio73]

Non saprei...credo non ci sia la risposta giusta, dipenderà dal solutore e dal problema.
Io di solito mi immagino prima la situazione, poi eventualmente passo alla parte analitica...
A proposito in questo caso cosa si ottiene? Il segmento che congiunge i due punti?

[@melia]

Di solito io me la cavo meglio nel piano cartesiano, però anche in quella sede non disdegno l'uso di proprietà geometriche quando mi possono essere utili.

[imagine]

A proposito in questo caso cosa si ottiene? Il segmento che congiunge i due punti?

Non lo so perché il problema non l'ho risolto. Possiamo provare a risolverlo, anche se credo che ci sia già un altro argomento per questo problema

[vittorino70]

Vi sono varie posizioni da considerare,Una di queste è nella figura allegata..Esamninando la figura medesima si può dimostrare che \(\displaystyle \alpha+\beta=90° \) .Questo significa che P "vede" RS sotto un agolo retto e quindi,al variare delle circonferenze C' e C" ,descrive un arco ( quello in rosso sulla fig.) della circonferenza di diametro RS.

[imagine]

ok. torna tutto. l'unica cosa: non riesco a immaginare che il punto P si possa trovare sull'arco SI. cioè, non riesco a immaginare due circonferenze che siano tangenti in un punto dell'arco SI

[vittorino70]

Ho già scritto che vi sono diversi casi da esaminare.Per esempio se RS è perpendicolare alle rette date r ed s ,mi trovo che il luogo si riduce ad una parte della retta RS.Salvo mio errore ! Per il caso che esponi forse puoi risolverlo immaginando di ruotare la figura in modo da fare assumere all'arco SI la stessa posizione che ha SK nella figura .Le posizioni reciproche delle circonferenze cambiano.

[imagine]

Ah ecco ci sono riuscito. Non mi quadrava perché le due circonferenze in un punto di SI sono tangenti internamente