Dimostrazioni per ricorsione

[@melia]

Confermo

[Tacito]

Ok, grazie. ora ho fatto quest'esercizio, in cui devo dimostrare che:

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{2}!}}+\frac{{2}}{{{3}!}}+\frac{{3}}{{{4}!}}+\ldots+\frac{{n}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}={1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}} \), con \( \displaystyle {n}\ge{1} \), così dicono gli autori del testo. (domanda, in teoria, col fattoriale, sarei potuto partire anche da \( \displaystyle {n}={0} \), no?)

Verifico che vale per \( \displaystyle {n}={1} \): \( \displaystyle \frac{{1}}{{{2}!}}={1}-\frac{{1}}{{{2}!}} \), bon.

IPOTESI INDUTTIVA: si pone vera la prima eguaglianza.
Detto questo, si deve verificare che l'uguaglianza è vera anche per \( \displaystyle {n}+{1} \), cioè che è \( \displaystyle \frac{{1}}{{{2}!}}+\frac{{2}}{{{3}!}}+\frac{{3}}{{{4}!}}+\ldots+\frac{{{n}+{1}}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}}={1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}} \). Ci siamo?
Aggiungo alla prima, \( \displaystyle \frac{{{n}+{1}}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}} \) e ottengo \( \displaystyle \frac{{1}}{{{2}!}}+\frac{{2}}{{{3}!}}+\frac{{3}}{{{4}!}}+\ldots+\frac{{n}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}+\frac{{{n}+{1}}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}}={1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}+\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}} \).
Il primo membro è apposto e lo lasciamo stare, perché la successione sta continuando tranquilla. Al secondo membro facciamo un po' di calcoli
\( \displaystyle {1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}+\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}}={1}-\frac{{1}}{{{n}!{\left({n}+{1}\right)}}}+\frac{{{n}+{1}}}{{{n}!{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{1}\right)}}}={1}-\frac{{1}}{{{n}!{\left({n}+{1}\right)}}}+\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}{n}!}}= \)
\( \displaystyle =\frac{{-{\left({n}+{1}\right)}{n}!+{\left({n}+{1}\right)}{n}!}}{{{n}!{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}}}+{1}=\frac{{{n}!{\left({n}+{1}-{n}-{2}\right)}}}{{{n}!{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}}}=-\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}{\left({n}+{1}\right)}}} \).
Che non mi sembra sia il risultato che mi aspettavo. Dove ho sbagliato?

[Andrea90]

L'uguaglianza che hai proposto nel primo post la puoi provare anche senza ricorrere al principio di induzione... potrebbe essere utile provarci. Suggerimento: in ogni parentesi esegui il minimo comune multiplo...

[Tacito]

Eh lo so, è una cosa interessante. Però questi esercizi mi chiedono di risolverlo per ricorsione

[Tacito]

Nessuno è in grado di aiutarmi?

[@melia]

Parto da \( \displaystyle {1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}+\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}} \) ricordo che \( \displaystyle {\left({n}+{2}\right)}\ne{\left({n}+{2}\right)}\cdot{\left({n}+{1}\right)}! \), quindi il denominatore comune è \( \displaystyle {\left({n}+{2}\right)}! \)
\( \displaystyle {1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{1}\right)}!}}+\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}}={1}+\frac{{-{\left({n}+{2}\right)}+{n}+{1}}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}}={1}+\frac{{-{n}-{2}+{n}+{1}}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}}={1}-\frac{{1}}{{{\left({n}+{2}\right)}!}} \) fatto.
Nei tuoi calcoli sembravi il mio nipotino quando non ha fame, manda il cibo da una parte all'altra della bocca e non lo inghiotte, così tu con i calcoli, ti porti avanti e indietro i fattori, senza concludere la somma.

[Tacito]

Ok, ho capito. Grazie @melia!

[@melia]

Prego