Discussione sistema con parametro

[robe92]

La traccia è questa \( \displaystyle \begin{cases}
x+ky=k+1\\
x+ky-z=k\\
x+k^2y+kz=3
\end{cases} \)

Da qui ricavo la matrice incompleta $A=((1,k,0),(1,k,-1),(1,k^2,k))$ da cui $|A|=k(k-1)$
Distinguo che con $kne0 \wedge kne1 \rightarrow rank(A)=3$, cioè sistema di Cramer con soluzione $S={k+3,1/k,1}$

Con $k=0$ ho $A=((1,0,0),(1,0,-1),(1,0,0))$ e $A'=((1,0,0,1),(1,0,-1,0),(1,0,0,3))$, quindi $r(A)=2$ e $r(A')=3$ ($A'$=matrice completa)$\rightarrow$ sistema incompatibile;

Con $k=1$ ho $A=((1,1,0),(1,1,-1),(1,1,1))$ e $A'=((1,0,0,2),(1,0,-1,1),(1,0,0,3))$, quindi $r(A)=r(A')=2$, sistema compatibile con $\infty^1$ soluzioni (minore $M_2=|(0,2),(-1,0)|ne0$)

Considero il sistema \( \displaystyle \begin{cases}
x+y=0\\
x+y-z=0\\
\end{cases} \) $\rightarrow$ \( \displaystyle \begin{cases}
y=-x\\
y-z=-x\\
\end{cases} \) e pongo $x=\alpha$, ottenendo \( \displaystyle \begin{cases}
x=\alpha\\
y=-\alpha\\
z=0
\end{cases} \)

È tutto ok nel procedimento oppure ho sbagliato qualcosa? Vi ringrazio in anticipo

[Camillo]

Tutto ok tranne il caso $k=1 $ in cui la matrice $A'$ non è corretta . ci sono $oo^1$ soluzioni ma non quelle da te indicate sebbene $(alpha, 2-alpha,1)$.

[robe92]

Ok grazie, non avevo inserito i termini noti nel sistema