Salve a tutti sono nuovo, ho da porre una domanda che potrebbe sembrare banale ma mi ha messo in difficoltà.
Se ho due numeri interi a,b,x con a<=b ,Abs(x-a)<=Abs(x-b) se e solo se x<=del quoziente inferiore di (a+b)/2 ,intendendo il quoziente inferiore il risultato approsimato per difetto.
Non riesco a capire come si giunga alla tesi di cui sopra.
Con Abs intendo il valore Assoluto.
Ringrazio a tutti per le risposte
8 messaggi
• Pagina 1 di 1
Disequazione con moduli
da edge » 22/01/2010, 18:40
- edge
- Junior Member
- Messaggi: 363
- Iscritto il: 22/01/2010, 18:22
da misanino » 22/01/2010, 19:22
Facci un piacere: scrivi con le formule.
Così sarà più facile per noi la lettura.
Se non sei capace di scrivere con le formule, qui è spiegato facilmente:
http://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Così sarà più facile per noi la lettura.
Se non sei capace di scrivere con le formule, qui è spiegato facilmente:
http://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
-
misanino - Senior Member
- Messaggi: 1167
- Iscritto il: 07/01/2010, 13:58
- Località: Milano
da Gatto89 » 22/01/2010, 19:39
misanino ha scritto:Facci un piacere: scrivi con le formule.
Così sarà più facile per noi la lettura.
Se non sei capace di scrivere con le formule, qui è spiegato facilmente:
http://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
"La reductio ad absurdum è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita."
-
Gatto89 - Senior Member
- Messaggi: 1755
- Iscritto il: 26/05/2008, 15:59
da edge » 23/01/2010, 09:53
Abbiamo tre numeri \( \displaystyle {a} \),\( \displaystyle {b} \),\( \displaystyle {x} \) con a\( \displaystyle \le \) b , perchè sotto questa ipotesi vale che \( \displaystyle {A}{B}{S} \)(x-a)\( \displaystyle \le \)ABS\( \displaystyle {\left({x}-{b}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{e}{e}{s}{o}{l}{o}{s}{e}{x} \)<=\( \displaystyle {\left(\right.} \)a\( \displaystyle + \)b$)/2
Edit i tre numeri sono interi
Edit i tre numeri sono interi
- edge
- Junior Member
- Messaggi: 363
- Iscritto il: 22/01/2010, 18:22
da blackbishop13 » 23/01/2010, 10:47
Siano \( \displaystyle {a},{b},{x}\in\mathbb{Z} \), con \( \displaystyle {a}\le{b} \) dimostrare che
\( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \) \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \)
un idea può essere:
\( \displaystyle {x}=\frac{{{a}+{b}}}{{2}}+{c} \)
\( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) , \( \displaystyle {\left|\frac{{{a}+{b}}}{{2}}+{c}-{a}\right|}\le{\left|\frac{{{a}+{b}}}{{2}}+{c}-{b}\right|} \)
\( \displaystyle {\left|{b}-{a}+{2}{c}\right|}\le{\left|{a}-{b}+{2}{c}\right|} \) da cui sfruttando il fatto che \( \displaystyle {a}\le{b} \)
si ricava che deve essere \( \displaystyle {2}{c}\le{0} \) ovvero \( \displaystyle {c}\le{0} \)
da cui \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \)
\( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) \( \displaystyle \Leftrightarrow \) \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \)
un idea può essere:
\( \displaystyle {x}=\frac{{{a}+{b}}}{{2}}+{c} \)
\( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) , \( \displaystyle {\left|\frac{{{a}+{b}}}{{2}}+{c}-{a}\right|}\le{\left|\frac{{{a}+{b}}}{{2}}+{c}-{b}\right|} \)
\( \displaystyle {\left|{b}-{a}+{2}{c}\right|}\le{\left|{a}-{b}+{2}{c}\right|} \) da cui sfruttando il fatto che \( \displaystyle {a}\le{b} \)
si ricava che deve essere \( \displaystyle {2}{c}\le{0} \) ovvero \( \displaystyle {c}\le{0} \)
da cui \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \)
Nelle scienze si cerca di dire in un modo che sia capito da tutti, qualcosa che nessuno sapeva. Nella poesia, è esattamente l’opposto. P. Dirac
Il più semplice scolaro è oggi familiare con delle verità per cui Archimede avrebbe sacrificato la sua vita. E. Renan
Il più semplice scolaro è oggi familiare con delle verità per cui Archimede avrebbe sacrificato la sua vita. E. Renan
-
blackbishop13 - Senior Member
- Messaggi: 1632
- Iscritto il: 06/04/2009, 19:10
- Località: Biella / Pisa
da misanino » 23/01/2010, 10:59
Apprezzo lo sforzo, anche se scrivere con le formule è un'altra cosa!
Devi mostrare che \( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) se e solo se \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \) (e sai che a,b interi e \( \displaystyle {a}\le{b} \)).
Ora se \( \displaystyle {a}={b} \) ciò è ovvio (invece del minore o uguale c'è proprio l'uguale)
Considero allora \( \displaystyle {a}\lt{b} \).
Ora \( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) significa \( \displaystyle -{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}-{a}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) (poichè \( \displaystyle {\left|{x}\right|}\le{4} \) equivale a \( \displaystyle -{4}\le{x}\le{4} \))
e quindi \( \displaystyle {a}-{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}\le{a}+{\left|{x}-{b}\right|} \)
Distinguiamo ora 2 casi.
Caso1: \( \displaystyle {x}-{b}\ge{0} \)
Allora \( \displaystyle {a}-{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}\le{a}+{\left|{x}-{b}\right|} \) diventa \( \displaystyle {a}-{x}+{b}\le{x}\le{a}+{x}-{b} \) e cioè \( \displaystyle {a}-{x}+{b}\le{x} \) e \( \displaystyle {x}\le{a}+{x}-{b} \).
Ma da questa seconda otteniamo \( \displaystyle {a}-{b}\ge{0} \) e quindi \( \displaystyle {a}\ge{b} \) contro il fatto che \( \displaystyle {a}\lt{b} \) e quindi questo caso 1 non ci dà soluzioni
Caso 2: \( \displaystyle {x}-{b}\lt{0} \)
Allora \( \displaystyle {a}-{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}\le{a}+{\left|{x}-{b}\right|} \) diventa \( \displaystyle {a}+{x}-{b}\le{x}\le{a}-{x}+{b} \) e cioè \( \displaystyle {a}+{x}-{b}\le{x} \) e \( \displaystyle {x}\le{a}-{x}+{b} \).
Dalla prima otteniamo \( \displaystyle {a}\le{b} \) che non ci dà nessuna informazione, ma ci riconferma l'ipotesi da cui eravamo partiti.
La seconda ci dà \( \displaystyle {2}{x}\le{a}+{b} \) da cui \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \)
e abbiamo così il risultato che volevamo
Devi mostrare che \( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) se e solo se \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \) (e sai che a,b interi e \( \displaystyle {a}\le{b} \)).
Ora se \( \displaystyle {a}={b} \) ciò è ovvio (invece del minore o uguale c'è proprio l'uguale)
Considero allora \( \displaystyle {a}\lt{b} \).
Ora \( \displaystyle {\left|{x}-{a}\right|}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) significa \( \displaystyle -{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}-{a}\le{\left|{x}-{b}\right|} \) (poichè \( \displaystyle {\left|{x}\right|}\le{4} \) equivale a \( \displaystyle -{4}\le{x}\le{4} \))
e quindi \( \displaystyle {a}-{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}\le{a}+{\left|{x}-{b}\right|} \)
Distinguiamo ora 2 casi.
Caso1: \( \displaystyle {x}-{b}\ge{0} \)
Allora \( \displaystyle {a}-{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}\le{a}+{\left|{x}-{b}\right|} \) diventa \( \displaystyle {a}-{x}+{b}\le{x}\le{a}+{x}-{b} \) e cioè \( \displaystyle {a}-{x}+{b}\le{x} \) e \( \displaystyle {x}\le{a}+{x}-{b} \).
Ma da questa seconda otteniamo \( \displaystyle {a}-{b}\ge{0} \) e quindi \( \displaystyle {a}\ge{b} \) contro il fatto che \( \displaystyle {a}\lt{b} \) e quindi questo caso 1 non ci dà soluzioni
Caso 2: \( \displaystyle {x}-{b}\lt{0} \)
Allora \( \displaystyle {a}-{\left|{x}-{b}\right|}\le{x}\le{a}+{\left|{x}-{b}\right|} \) diventa \( \displaystyle {a}+{x}-{b}\le{x}\le{a}-{x}+{b} \) e cioè \( \displaystyle {a}+{x}-{b}\le{x} \) e \( \displaystyle {x}\le{a}-{x}+{b} \).
Dalla prima otteniamo \( \displaystyle {a}\le{b} \) che non ci dà nessuna informazione, ma ci riconferma l'ipotesi da cui eravamo partiti.
La seconda ci dà \( \displaystyle {2}{x}\le{a}+{b} \) da cui \( \displaystyle {x}\le\frac{{{a}+{b}}}{{2}} \)
e abbiamo così il risultato che volevamo
-
misanino - Senior Member
- Messaggi: 1167
- Iscritto il: 07/01/2010, 13:58
- Località: Milano
8 messaggi
• Pagina 1 di 1
Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Chi c’è in linea
Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti
