Disequazione & induzione

[Steven]

Salve a tutti.
Mi trovo a che fare con questa semplice dimostrazione, che però non riesco a impostare.
Provare per induzione la seguente disuguaglianza
\( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {n}\in\mathbb{N} \)
Con \( \displaystyle {n}\gt{4} \)

Grazie & ciao.

[TomSawyer]

Dopo averla verificata per \( \displaystyle {n}={5} \), la si assume vera per qualche \( \displaystyle {n}\gt{5} \). Un modo può essere sommare \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \) ad entrambi i membri, ottenendo \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{n}}^{{2}}+{{2}}^{{n}} \). Ora osservi che \( \displaystyle {{2}}^{{n}}+{{n}}^{{2}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}={{n}}^{{2}}+{2}{n}+{1}\Leftrightarrow{{2}}^{{n}}\gt{2}{n}+{1} \), per \( \displaystyle {n}\gt{2} \). Cioè la parte di destra è sicuramente maggiore di \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \), e questo implica che \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \).

[Steven]

Grazie Tom, non ci avrei proprio pensato ad aggiungere \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \) a entrambi i membri.
Alla prossima, ciao&grazie.
Stefano

[TomSawyer]

Le possibilità erano 2:
-aggiungere \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \) ad entrambi i membri per ottenere \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}} \)
-moltiplicare la disequazione per \( \displaystyle {2} \) per ottenere a sinistra ancora \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}} \)

E qui si vede a occhio che la prima scelta si rivela veloce ed efficace.

Ciao

[Steven]

A questo punto posto la mia arzigogolata dimostrazione, che sapevo essere troppo lunga perchè non ne esistesse un'altra più valida.

Vediamo che \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}} \) se \( \displaystyle {n}={5} \) (1)
Verifichiamo n+1
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {2}\cdot{{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}}+{1}+{2}{n} \)
\( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt\frac{{{{n}}^{{2}}+{2}{n}+{1}}}{{2}} \) (2)
Ora ho mostrato che il secondo membro della (1) è maggiore del secondo membro della (2) per \( \displaystyle {n}\gt{1}+\sqrt{{2}} \), pertanto i numeri naturlai che vengono dopo tale valore inglobano tutti quelli maggiori di 4, cosa che a noi interessa.
Quindi possiamo dire che
\( \displaystyle \frac{{{{n}}^{{2}}+{1}+{2}{n}}}{{2}}\lt{{n}}^{{2}}\lt{{2}}^{{n}} \)
Anche se non molto bella, è valida?
Ciao&grazie ancora.

[TomSawyer]

Mi sembra un po' strana.. Le argomentazioni, intendo. La questione è piuttosto semplice (partendo dal tuo inizio): \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}} \), per ipotesi. Ora la maniera più semplice per affrontarla è modificare entrambi i membri della disuguaglianza, nello stesso modo. Moltiplichiamo tutto per \( \displaystyle {2} \) e abbiamo \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{2}{{n}}^{{2}} \), chiaramente ancora vera, per ipotesi. Adesso ti basta far vedere che \( \displaystyle {2}{{n}}^{{2}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}={{n}}^{{2}}+{2}{n}+{1}\Leftrightarrow{{n}}^{{2}}\gt{2}{n}+{1} \), per \( \displaystyle {n}\ge{3} \); quindi a maggior ragione si avrà che \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \). Spero tu abbia capito. La strada è questa, e anche semplice, quindi conviene non andare in qualche vicolo cieco .

[Steven]

Hai ragione, cercherò di non chiudermi più usando strade difficoltose.
Grazie per la disponibilità, ciao.
Stefano

[TomSawyer]

Figurati, per così poco...