Disequazioni in due variabili non lineari e "non note&q

[Shaka]

Ciao, amici!

Per risolvere disequazioni in due variabili non riconducibili a:

- y > f(x) o x > g(x);

- funzioni di cui sia immediato il disegno del grafico;

(esempio: \( \displaystyle {4}{{x}}^{{2}}{{y}}^{{2}}\gt{1}-{{x}}^{{2}} \))

come si procede per la risoluzione?

[Martino]

Ciao,

direi che la disequazione da te riportata come esempio è l'espressione algebrica di una zona del piano cartesiano: "risolverla" vuol dire saper disegnare quella zona di piano, e l'unica difficoltà nel fare ciò è saper disegnare il grafico della funzione \( \displaystyle \frac{{{1}-{{x}}^{{2}}}}{{{4}{{x}}^{{2}}}} \).

[Shaka]

Ok, e dopo aver disegnato il grafico di tale funzione, come procedo?

[Martino]

Allora, io proseguirei cosi':

Osservo che le soluzioni sono punti \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)} \).
Osservo che per \( \displaystyle {x}={0} \) non ci sono soluzioni.
Osservo che quando \( \displaystyle {x} \) e' tale che \( \displaystyle \frac{{{1}-{{x}}^{{2}}}}{{{4}{{x}}^{{2}}}}\lt{0} \) il punto \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)} \) e' soluzione per ogni \( \displaystyle {y} \).
Quando \( \displaystyle {x} \) e' tale che \( \displaystyle \frac{{{1}-{{x}}^{{2}}}}{{{4}{{x}}^{{2}}}}\ge{0} \) siamo ridotti a studiare la disequazione \( \displaystyle {y}\gt\sqrt{{\frac{{{1}-{{x}}^{{2}}}}{{{2}{\left|{x}\right|}}}}} \) che sappiamo fare con metodi standard.