Distanza tra Rette

Messaggioda popo01 » 14/07/2009, 10:57

Ciao,
Ho qualche dubbio su questo esercizio potete aiutarmi?

fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale si considerino le rette

$r:\{(x + 2y = 0),(y - z = 0):}$

$s:\{(x = 2t),(y = 1-t),(z = -t):}$

(i) Verificare che $r$ e $s$ siano propriamente parallele

(ii) Rappresentare il piano per $r$ e $s$

(iii) Determinare la distanza tra $r$ e $s$


Ho svolto in questo modo:

(i) Le rette sono propriamente parallele in quanto i parametri direttori sono proporzionali e non passano per lo stesso punto, infatti:

I parametri direttori di $r$ sono $(-2,1,1)$, Quelli di $s$ sono $(2,-1,-1)$ e in quanto proporzionali sono parallele.
Inoltre sono propriamente parallele,cioè non hanno punti in comune, perchè la retta $s$ passa per $A(0,1,0)$ e la retta $r$ no.

(ii)Il piano passante per $s$ ed $r$ è dato dall' equazione del fascio di piani di asse $r$, imponendo a quest'ultima il passaggio per un punto di $s$, cioè:

$ax+by+cz+d+t(a'x+b'x+c'z+d')=0 -> x+2y+t(y-z) $

Imponendo il passaggio per $A(0,1,0)$ abbiamo chi $t=-2$ e da queto abbiamo che la nostra equazione è:

$x+2z=0$

(iii) Per conoscere la distanza tra 2 rette nello spazio dobbiamo conoscere l'equazione di un piano ortogonale ad una delle due rette $(r)$, imporre poi passaggio di questo piano per un punto di $s$. Mi risulta, omettendo tutti i passaggi:

$-2x+y+z-1=0$

Adesso ho trovato il punto di intersezione $H$ tra questo piano e la retta $r$

$s:\{(x+2y = 0),(y-z = 0),(-2x+y+z = 1):} -> s:\{(x = -1/3),(y = 1/6),(z = 1/6):}$

Applicando la formula della distanza tra un punto ed un piano mi risulta $0$ che è in contraddizione con il primo punto, cioè:

$(|ax+by+cz+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2) = 0$

in cui $a=-2, b=1, c=1, d=-1, x=-1/3, y=1/6, z=1/6$

Mi potete dire dove e se ho sbagliato.

Perdonate la lunghezza.
popo01
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 18
Iscritto il: 08/07/2009, 10:55

Messaggioda popo01 » 14/07/2009, 11:28

Mi sono accorto di una cosa,
se ho un punto $H=(-1/3,1/6,1/6)inr$

ed un punto $A=(0,1,0)ins$
posso calcolare semplicemente la distanza tra $H$ ed $A$.

$A$ è il punto per cui passa la retta $s$ ed
$H$ è il punto di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $pi$ ortogonale ad $r$
popo01
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 13 di 18
Iscritto il: 08/07/2009, 10:55

Messaggioda lellina89 » 14/07/2009, 12:29

bè se dopo aver trovato il punto $H$ fai la distanza di questo punto col piano ortogonale che ti sei trovato è ovvio che viene zero in quanto è un punto di intersezione tra il piano $-2x+y+z-1=0$ e la retta $r$ quindi il punto appartiene al piano e non avrà alcuna distanza da esso.... :wink: se vuoi trovare la distanza basta che trovi l'altra intersezione tra il piano $-2x+y+z-1=0$ e la retta $s$ quindi un altro punto e fai semplicemente la distanza tra i due punti la risposta precedente alla mia è sbagliata perchè se trovi la distanza tra $H$ e $A$ non è detto che appartengano ad una retta perpendicolare a $r$ e $s$
lellina89
New Member
New Member
 
Messaggio: 48 di 60
Iscritto il: 19/01/2008, 23:31
Località: calabria

Messaggioda popo01 » 14/07/2009, 12:41

Quindi, facendo l'intersezione tra il piano $pi$ e la retta $s$ mi trovo un sistema del tipo:

$\{(-2x + y + z - 1 = 0),(x + 2y - 2 = 0),(y - z - 1 = 0):}$

che ha soluzione $(0,1,0)$.

Così ho trovato il punto $K$ di intersezione tra il piano $pi$ e la retta $s$

Adesso basta trovare la distanza tra il punto $H=(-1/3,1/6,1/6)inr$ ed il paunto $K=(0,1,0)ins$

Giusto?
popo01
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 15 di 18
Iscritto il: 08/07/2009, 10:55

Messaggioda popo01 » 14/07/2009, 12:46

Comunque secondo me è fatto bene anche come l'ho fatto io in quanto il piano $pi$ è ortogonale a $r$ e passante per $s$, siccome $r$ ed $s$ sono parallele il piano è ortogonale ad entrambe le rette.

Comunque Grazie della risposta, sei stata molto gentile
popo01
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 16 di 18
Iscritto il: 08/07/2009, 10:55

Messaggioda lellina89 » 14/07/2009, 12:59

bhe ma se poi consideri il punto $K$ e il punto $A$ potrebbe succedere che la retta individuata da questi due punti non sia ortogonale a $r$ ed $s$ sarebbe solo un caso su un 1000000 ;) comunque se credi sia giusto quello che dici tu basta che trovi la retta passante per quei due punti e verifichi l'ortogonalità tra le rette niente di così complicato :D...per l'altra risposta si è giusto era proprio quello che intendevo
ultima cosa...ma per caso studi all'unical? questo esercizio sembra abbastanza uguale a quelli che dava la mia prof
lellina89
New Member
New Member
 
Messaggio: 49 di 60
Iscritto il: 19/01/2008, 23:31
Località: calabria


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite