) dei test d'ammissione alla SNS.Testo:
Dimostrare che, presi due numeri reali a e b, si ha sempre:
$a^4+b^4\gea^3b$
Dire quando si ha l’uguaglianza.
La mia soluzione, che apro al confronto perchè sono sicuro che c'era un modo più facile e veloce
:Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $h = b-a$. L'espressione potrà essere riscritta come $a^4+(a+h)^4\gea^3(a+h)$.
Svolgendo le potenze si otterrà $a^4+3a^3h+6a^2h^2+ah^3+h^4\ge0$
Quindi,
$(a^2+h^2)^2 +ah(3a^2+h^2) +4a^2h^2 \ge 0$
Essendo una somma di quadrati, è facile dire che l'espressione non sarà mai negativa. In particolare per $a=0$ la disuguaglianza si ridurrà a $h^4\ge0$ e per $h=0$ ad $a^4\ge0$.
L'espressione sarà dunque nulla per $a=b=0$ e positiva per qualunque altro valore di $a,b\in\mathbb{R}$
Svolgendo le potenze si otterrà $a^4+3a^3h+6a^2h^2+ah^3+h^4\ge0$
Quindi,
$(a^2+h^2)^2 +ah(3a^2+h^2) +4a^2h^2 \ge 0$
Essendo una somma di quadrati, è facile dire che l'espressione non sarà mai negativa. In particolare per $a=0$ la disuguaglianza si ridurrà a $h^4\ge0$ e per $h=0$ ad $a^4\ge0$.
L'espressione sarà dunque nulla per $a=b=0$ e positiva per qualunque altro valore di $a,b\in\mathbb{R}$
...a voi!
