Disuguaglianza

[TomSawyer]

Dimostrare che
\( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{n}}}!\le\frac{{{n}+{1}}}{{2}} \). e inoltre che \( \displaystyle \frac{{{n}+{1}}}{{2}} \) non è mai un multiplo del primo termine della disuguaglianza.

[Nidhogg]

root{n}n! \( \displaystyle \rightarrow{\sqrt[{{n}}]{{n}}}! \)

[TomSawyer]

root{n}n!

Grazie. Ora correggo.

[Mistral]

Dimostrare che
\( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{n}}}!\le\frac{{{n}+{1}}}{{2}} \). e inoltre che \( \displaystyle \frac{{{n}+{1}}}{{2}} \) non è mai un multiplo del primo termine della disuguaglianza.

Deriva dalla nota disugualianza tra media aritmetrica e geometrica:

\( \displaystyle \frac{{{a}_{{1}}+{a}_{{2}}+\ldots+{a}_{{n}}}}{{{n}}}\geq{\sqrt[{{n}}]{{{a}_{{1}}{a}_{{2}}\ldots.{a}_{{n}}}}} \)

quindi

\( \displaystyle \frac{{{n}+{1}}}{{2}}=\frac{{{1}+{2}+\ldots+{n}}}{{{n}}}\geq{\sqrt[{{n}}]{{{12}\ldots.{n}}}} \)

Può darsi esistano modi più "smart" di derivarla ci penso

Saluti

Mistral