Disuguaglianza triangolare.

[billytalentitalianfan]

Salve!

Devo dimostrare che \( \displaystyle {\left|{\left|{\left|{x}\right|}\right|}-\right|}{\left|{y}\right|}{\left|{\left|\le\right|}\right|}{x}+{y}{\left|{\left|\le\right|}\right|}{x}{\left|{\left|+\right|}\right|}{y}{\mid}{\mid} \) ;

parto da \( \displaystyle \lt{x}+{y},{x}+{y}\gt \) che
applicando le proprietà di bilinearità è uguale a \( \displaystyle \lt{x},{x}\gt+{2}\lt{x},{y}\gt+\lt{y},{y}\gt \)
sviluppando il prodotto scalare direttamente è uguale a \( \displaystyle {{\left|{\left|{x}+{y}\right|}\right|}}^{{2}} \) .

Ora bisognerebbe applicare la disuguaglianza di cauchy-schwarz per arrivare a:
\( \displaystyle \lt{x},{x}\gt-{2}\lt{x},{y}\gt+\lt{y},{y}\gt\le{{\left|{\left|{x}+{y}\right|}\right|}}^{{2}}\le\lt{x},{x}\gt+{2}\lt{x},{y}\gt+\lt{y},{y}\gt \) ecc ecc ecc.

Ecco, non riesco a capire COME venga applicata la disuguaglianza di c-z che, per quanto ne so, parla di : \( \displaystyle \lt{x},{y}{\gt}^{{2}}\le{{\left|{\left|{x}\right|}\right|}}^{{2}}\cdot{{\left|{\left|{y}\right|}\right|}}^{{2}} \) .
Per farmi capire, è come se nell'applicare il teorema di pitagora non riuscissi a capire quali sono i cateti e quale l'ipotenusa!!