Disuguaglianze ed uguaglianze

[Delirium]

Dimostrare che per \( \displaystyle n \ge 5 \) con \( \displaystyle n \in \mathbb{N} \) risulta \( \displaystyle [1] \ 2^{n} > n^{2} \) .

La mia in spoiler.

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Si nota dapprima che la relazione vale per \( \displaystyle n=5 \) , infatti \( \displaystyle 2^{5} > 5^2 \rightarrow 32>25 \) .
Se la \( \displaystyle [1] \) è vera, deve risultare \( \displaystyle 2^{n} - n^{2}>0 \) e quindi \( \displaystyle 2^{n} - n^{2} =p \ge 1 \) , con \( \displaystyle p \in \mathbb{N} \) . Per induzione, se la \( \displaystyle [1] \) è vera per \( \displaystyle n \) , dovrà esserlo anche per \( \displaystyle n+1 \) , e quindi \( \displaystyle [2] \ 2^{n+1}>(n+1)^{2} \) .
Dalla \( \displaystyle [2] \) si ottiene \( \displaystyle 2\cdot2^{n}>n^{2}+2n+1 \rightarrow 2\cdot(n^{2}+p)>n^{2}+2n+1 \rightarrow n^{2} -2n -1 +2p >0 \) . Risolvendo quest'ultima mediante la classica formula si ha che \( \displaystyle \Delta=4-4(2p-1)=8-8p>0\ \mathrm{se} \ p<1 \) , ma poiché \( \displaystyle p\ge1 \) per ipotesi, risulta sempre \( \displaystyle \Delta<0 \) (o al limite \( \displaystyle \Delta=0\ \mathrm{per}\ p=1 \) , da cui si otterrebbe \( \displaystyle (n-1)^{2} >0 \ \mathrm{per}\ n\ne 1 \) ) e quindi \( \displaystyle n^{2}-2n +2p -1>0 \) per \( \displaystyle \forall \; n\ge 5 \) , da cui discende la tesi.

EDIT: modificato il titolo per poter rilanciare la discussione

[@melia]

La mia mi pare più semplice

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Dopo aver verificato la prima ipotesi,

Si nota dapprima che la relazione vale per \( \displaystyle n=5 \) , infatti \( \displaystyle 2^{5} > 5^2 \rightarrow 32>25 \) .

supponendo vero \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}} \) si deve verificare che \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\gt{2}\cdot{{n}}^{{2}} \) sfruttando l'ipotesi induttiva
\( \displaystyle {2}\cdot{{n}}^{{2}}={{n}}^{{2}}+{n}\cdot{n} \), poiché \( \displaystyle {n}\gt{4} \) si ha che
\( \displaystyle {{n}}^{{2}}+{n}\cdot{n}\gt{{n}}^{{2}}+{4}{n}={{n}}^{{2}}+{2}{n}+{2}{n} \) sempre per il fatto che \( \displaystyle {n}\gt{4} \) si ha
\( \displaystyle {{n}}^{{2}}+{2}{n}+{2}{n}\gt{{n}}^{{2}}+{2}{n}+{1}={{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}} \)

[xXStephXx]

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Induzione:
\( \displaystyle n=5 \)
\( \displaystyle {{2}}^{{5}}\gt{{5}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {32}\gt{25} \) SI!


\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{D}{i}{m}{o}{s}{t}{r}{o}{c}{h}{e}{l}&#{39};{a}{g{{g{{i}}}}}{u}{n}{t}{a}{c}{h}{e}{c}&#{39};è{s}{t}{a}{t}{a}{a}{l}{p}{r}{i}{m}{o}{m}{e}{m}{b}{r}{o}è{m}{a}{g{{g{{i}}}}}{\quad\text{or}\quad}{e}\partial{l}&#{39};{a}{g{{g{{i}}}}}{u}{n}{t}{a}{c}{h}{e}{c}&#{39};è{s}{t}{a}{t}{a}{a}{l}{\sec{{o}}}{n}{d}\odot\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2^n(2-1) > n^2+1+2n-n^2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2^n>2n+1\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2(2^(n-1)-n)>1\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2^(n-1)-n\( \displaystyle è{m}{a}{g{{g{{i}}}}}{\quad\text{or}\quad}{e}{o}{u}{g{{u}}}{a}\le{a}{1}{p}{e}{r}{o}{g{{n}}}{i} \)n>=3$, quindi la limitazione rientra in quest'intervallo.

[Delirium]

Provare che \( \displaystyle [3] \ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^{2}-1}=\frac{n}{2n+1} \)

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In principio si nota che l'enunciato è valido per \( \displaystyle n=1 \) \( \displaystyle \left (\frac{1}{4\cdot1^{2} -1}=\frac{1}{2+1} \right) \) .
Supposta vera la \( \displaystyle [3] \) , per \( \displaystyle n+1 \) si ha:
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{4k^{2}-1}=\frac{n+1}{2(n+1)+1} \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^{2}-1} + \frac{1}{4(n+1)^{2}-1} = \frac{n+1}{2(n+1)+1} \)

\( \displaystyle \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{4(n+\frac{1}{2})(n+\frac{3}{2})}=\frac{n+1}{2n+3} \)

\( \displaystyle \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3} \)

\( \displaystyle \frac{2n^{2}+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3} \)

\( \displaystyle \frac{2(n+1)(n+\frac{1}{2})}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3} \rightarrow \frac{n+1}{2n+3}=\frac{n+1}{2n+3} \quad \Box \)

[gugo82]

Meno conti e senza induzione.

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Se si nota che \( \displaystyle 4k^2-1=(2k+1)(2k-1) \) riesce di scrivere:

\( \displaystyle \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k-1} -\frac{1}{2k+1}\right) \) ,

quindi per ogni fissato \( \displaystyle n \) risulta:

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2-1} =\frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} -\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k+1} \right) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2} \left[ \left( 1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k+1}\right) -\left(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k+1} +\frac{1}{2n+1} \right) \right] \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2} \left( 1-\frac{1}{2n+1}\right) \)
\( \displaystyle =\frac{n}{2n+1} \) ,

come si voleva.

[Delirium]

Qual è il più grande degli interi positivi \( \displaystyle n \) tali che la media aritmetica dei numeri da \( \displaystyle 1 \) a \( \displaystyle n \) sia \( \displaystyle <2003 \) ?

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Si vuole che \( \displaystyle \frac{1+2 + 3+...+n}{n}<2003 \) ; poiché \( \displaystyle \frac{1+2+3+...+n}{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n} k}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2} \) , dovrà essere \( \displaystyle \frac{n+1}{2}<2003 \rightarrow n<4005 \) . Il primo intero \( \displaystyle <4005 \) che verifica l'assunto è pertanto \( \displaystyle n=4004 \) .