Divisibilità e congruenza

[Taniab]

Come posso dimostrare questo esercizio?
"Dimostrare che \( \displaystyle \forall{n}\in{Z} \) 16 non divide \( \displaystyle {{n}}^{{16}}+{14}{{n}}^{{4}}-{4}{{n}}^{{2}}-{3} \)"
Ho provato in mille modi ma non riesco!

[maurer]

Distingui i due casi: o \( \displaystyle 2 \mid n \) oppure \( \displaystyle 2 \nmid n \) . Se \( \displaystyle 2 \nmid n \) , allora per il teorema di Eulero \( \displaystyle n^8 \equiv 1 \pmod{16} \) visto che \( \displaystyle \varphi(16) = 8\cdot(2-1) = 8 \) , quindi \( \displaystyle n^{16} + 14 n^4 - 4n^2 - 3 \equiv 14 n^4 - 4n^2 - 2 = 2(7n^4 - 2n^2 -1) \pmod{16} \) . Adesso la consegna è equivalente a dimostrare che 8 non divide \( \displaystyle 7 n^4 - 2 n^2 -1 \) . Come prima, \( \displaystyle n^4 \equiv n \pmod{8} \) perché \( \displaystyle \varphi(8) = 4 \) . Ma allora \( \displaystyle 7n^4 - 2n^2 - 1 \equiv 7 + 6n^2 - 1 = 6(n^2 +1) \pmod{8} \) . E, indovina un po'? Adesso siamo ridotti a dimostrare che 4 non divide \( \displaystyle n^2 + 1 \) , ossia che \( \displaystyle n^2 + 1 \ne 0 \pmod{4} \) . I quadrati modulo 4 sono però 1 e 2 (e 0, che però abbiamo escluso) quindi l'equazione non ha soluzioni.

Se invece \( \displaystyle 2 \mid n \) , allora \( \displaystyle 16 = 2^4 \mid n^4 \) , e inoltre siamo fortunati, perché \( \displaystyle 4 \mid n^2 \) , sicché \( \displaystyle 16 \mid 4n^2 \) , quindi la tua tesi diventa equivalente a mostrare che \( \displaystyle -3 \ne 0 \pmod{16} \) , sulla qual cosa siamo tutti piuttosto d'accordo, giusto?

[Taniab]

Grazie mille!
Si anche io alla fine ero arrivata alla stessa conclusione, però sono partita imponendo appunto \( \displaystyle {n} \) dispari, altrimenti è chiara la non divisibilità e poi arrivata alla congruenza modulo \( \displaystyle {8} \) ho visto che per nessun \( \displaystyle {n} \) dispari \( \displaystyle {{n}}^{{2}}+{1}\equiv{0}{\left(\text{mod}{8}\right)} \).
Grazie ancora