Divisibilità e quadrati perfetti

[giannirecanati]

Trovare per quali valori di \(\displaystyle p \) primo la frazione \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} \) è un quadrato perfetto.

Quello che ho fatto è semplicemente: \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv 0 \pmod{p} \) è sempre verificato per fermat, quindi \(\displaystyle p|2^{p-1}-1 \). Il risultato della divisione deve essere necessariamente dispari, quindi il quadrato perfetto dovrà essere \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}\equiv 1 \pmod{4} \). Siccome \(\displaystyle MCD(p,4)=1 \) si ha che \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv p \pmod{4}\). Escludendo il caso \(\displaystyle p=2 \), si ha quindi \(\displaystyle p \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4} \). Come potrei continuare?

[giannirecanati]

Mi permetto di uppare perchè ho bisogno di un consiglio, in quanto non conosco la soluzione.

[Stickelberger]

Supponiamo che \( \displaystyle {p}\gt{2} \) sia primo e che \( \displaystyle \frac{{{{2}}^{{{p}-{1}}}-{1}}}{{p}} \) sia un quadrato.

E' facile controllare che \( \displaystyle \frac{{{{2}}^{{{p}-{1}}}-{1}}}{{p}} \) e' un quadrato per \( \displaystyle {p}={3} \) e \( \displaystyle {p}={7} \), ma non per \( \displaystyle {p}={5} \).
Sia adesso \( \displaystyle {p}\ge{7} \).

Dal fatto che quadrati dispari sono congrui ad \( \displaystyle {1} \) mod \( \displaystyle {8} \) e \( \displaystyle {{2}}^{{{p}-{1}}}-{1}\equiv-{1} \) mod \( \displaystyle {8} \),
segue che \( \displaystyle {p}\equiv-{1} \) mod \( \displaystyle {8} \). Questo implica che \( \displaystyle {2} \) e' un quadrato modulo \( \displaystyle {p} \) e
quindi che \( \displaystyle {p} \) divide \( \displaystyle {{2}}^{{\frac{{{p}-{1}}}{{2}}}}-{1} \).

Allora \( \displaystyle \frac{{{{2}}^{{{p}-{1}}}-{1}}}{{p}} \) e' il prodotto degli interi \( \displaystyle \frac{{{{2}}^{{\frac{{{p}-{1}}}{{2}}}}-{1}}}{{p}} \) e \( \displaystyle {{2}}^{{\frac{{{p}-{1}}}{{2}}}}+{1} \). Poiche'
questi due fattori sono coprimi e positivi, tutti e due sono quadrati. In particolare, si ha
che \( \displaystyle {{2}}^{{\frac{{{p}-{1}}}{{2}}}}+{1}={{y}}^{{2}} \) e quindi \( \displaystyle {{2}}^{{\frac{{{p}-{1}}}{{2}}}}={\left({y}+{1}\right)}{\left({y}-{1}\right)} \) per qualche \( \displaystyle {y}\in{Z}_{{\gt{0}}} \).
Questo implica che sia \( \displaystyle {y}-{1} \) che \( \displaystyle {y}+{1} \) sono potenze di due. Le uniche potenze di \( \displaystyle {2} \)

che differiscono per \( \displaystyle {2} \), sono \( \displaystyle {2} \) e \( \displaystyle {4} \). Abbiamo quindi che \( \displaystyle {y}={3} \) e \( \displaystyle {p}={7} \). Fatto.