[Ex] - Divisibilità per 3

[Delirium]

Dato un numero intero \(z=a_{0}+a_{1} \cdot 10 + a_{2} \cdot 10^{2} + a_{3} \cdot 10^{3} +...+a_{n} \cdot 10^{n}\) dove i coefficienti \(a_{0}, \ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3}, \ ... \ a_{n}\) sono anch'essi (ovviamente) interi, dimostrare che \(z\) è divisibile per \(3\) se \(t=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\) è divisibile per \(3\).

Prove it!

[Gi8]

facile facile, eh?

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è sufficiente dimostrare che \( \displaystyle \forall{i}\in\mathbb{N} \) si ha \( \displaystyle {a}_{{i}}\cdot{{10}}^{{i}}\equiv{a}_{{i}}{\left(\text{mod}{3}\right)} \), o equivalentemente, che \( \displaystyle {{10}}^{{i}}\equiv{1}{\left(\text{mod}{3}\right)} \)

[xXStephXx]

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Le potenze di 10 sono sempre congrue a 1 modulo 3. Quindi di fatto il numero è congruo alla somma dei suoi coefficienti modulo 3, quindi se tale è 0, anche il numero è congruo a 0 modulo 3. Tra l'altro è anche la dimostrazione del criterio di congruenza di 3.

[Delirium]

facile facile, eh? [...]

Massì, però è carino.
Il bello è che con procedimenti affini si possono ricavare delle regole che permettono di verificare la divisibilità di un qualunque intero anche per altri primi.