Pongo : x+b=y,a=b+u di modo che la divisione da fare diventa:
\((y+u)^n:y^m \)
Sviluppando il binomio la divisione diventa così :
\( \biggl( \left [\binom{n}{0}y^n+\binom{n}{1}y^{n-1}u+\binom{n}{2}y^{n-2}u^2+...+\binom{n}{n-m}y^mu^{n-m}) \right] + \) \( + \left [ \binom{n}{n-m+1}y^{m-1}u^{n-m+1}+\binom{n}{n-m+2}y^{m-2}u^{n-m+2}+...+\binom{n}{n}u^n \right] \biggl) :y^m \)
Ora il polinomio racchiuso tra la terza e la quarta parentesi quadra contiene la y con esponenti tutti minori di m e dunque rappresenta il resto della divisione.Di conseguenza l'altro polinomio ,racchiuso tra la prima e la seconda parentesi quadra, rappresenta -diviso per \(y^m\)-il quoziente.Sostituendo
y con
x+b ed
u con
a-b si ha :
\( Q(x) =\displaystyle \binom{n}{0}(x+b)^{n-m}+\binom{n}{1}(x+b)^{n-m-1}(a-b)+\binom{n}{2}(x+b)^{n-m-2}(a-b)^2+...+\binom{n}{n-m}(a-b)^{n-m} \)
\(R(x)= \displaystyle \binom{n}{n-m+1}(x+b)^{m-1}(a-b)^{n-m+1}+\binom{n}{n-m+2}(x+b)^{m-2}(a-b)^{n-m+2}+...+\binom{n}{n}(a-b)^n \)
che sono rispettivamente quoziente e resto della divisione richiesta.
P.S. Speriamo che sia giusto e soprattutto ...che qualcuno legga la soluzione.
C'ho messo una vita a scriverla !! 
