divisione triangolare

[Piera]

Sia \( \displaystyle {n} \) un numero naturale.
Per quali valori di \( \displaystyle {n} \) è possibile dividere un triangolo equilatero in \( \displaystyle {n} \) triangolini equilateri? (i triangolini equilateri possono essere diversi tra di loro)

[carlo23]

Sia \( \displaystyle {n} \) un numero naturale.
Per quali valori di \( \displaystyle {n} \) è possibile dividere un triangolo equilatero in \( \displaystyle {n} \) triangolini equilateri? (i triangolini equilateri possono essere diversi tra di loro)

Se n è nella forma \( \displaystyle \frac{{{{k}}^{{2}}+{k}}}{{2}} \), ma anche in altri casi, ci devo pensare...

Ciao,ciao!

[Piera]

dò il risultato, non la soluzione dell'esercizio :
la divisione è possibile per \( \displaystyle {n}={4} \) e per \( \displaystyle {n}\ge{6} \)

[Pachito]

Ci sono quasi... la divisione è possibile per n=4 e per n≥6 (eccetto 8 che non mi torna)
Dividere un triangolo equilatero in 4 triangolini equilateri è cosa semplice: si prendano i punti medi dei lati e congiungere.
Per 6 triangolini basta dividere un lato in 3 parti e costruire i 3 triangoli alla base e 2 di 'coperchio'. Con il triangolo rimanente fanno 3+2+1=6
Se prendo una partizione di n triangolini e faccio una sottopartizione di uno dei triangolini con altri 4 triangolini otterrò una nuova partizione n+3 e analogamente con 6 otterrò una nuova partizione n+5
Basterà dimostrare che posso ottenere 4 partizioni consecutive e il gioco è fatto.
Allora n=4 e n=6 sono ok e quindi
\( \displaystyle {4}\to{7}\to{10}\to{13}\to\ldots \)
\( \displaystyle {6}\to{9}\to{12}\to{15}\to\ldots \)
\( \displaystyle {6}\to{11}\to{16}\to\ldots \)
Dunque abbiamo le seguenti partizioni consecutive 9,10,11,12,13 che sono sufficienti a dimostrare che la divisione è possibile per n≥9 ho anche n=4,6,7 ma non 8... mi manca solo quello.

[MaMo]

..... ma non 8... mi manca solo quello.

Per dividere un triangolo equilatero di lato L in 8 triangoli equilateri basta tracciare una parallela ad uno dei lati ad una distanza h/4 da esso e dividere la striscia così ottenuta in 7 triangoli equilateri uguali di lato L/4.