Domanda: problema e sistema equivalente - SNS 1963

[elios]

Ho una domanda su questo esercizio, che ho risolto:
"Impostare algebricamente, in modo completo, il seguente problema, trovando un sistema misto di equazioni e disequazione che sia equivalente al problema stesso.
Problema: costruire un triangolo rettangolo conoscendo la differenza \( \displaystyle {d} \) dei cateti e sapendo che, se i cateti stessi si diminuiscono entrambi di \( \displaystyle {k} \), l'area del triangolo diminuisce di \( \displaystyle {{m}}^{{2}} \). (Si indichino con \( \displaystyle {x} \), \( \displaystyle {y} \), ponendo \( \displaystyle {x}\gt{y} \), le misure incognite dei cateti).
NB: Si deve dimostrare con precisione la suddetta equivalenza, non risolvere il problema."

Ho trovato il sistema, e va bene:
\( \displaystyle {x}\gt{y} \)
\( \displaystyle {y}\gt{0} \)
\( \displaystyle {x}-{y}={d} \)
\( \displaystyle \frac{{{\left({x}-{k}\right)}\cdot{\left({y}-{k}\right)}}}{{2}}=\frac{{{x}\cdot{y}}}{{2}}-{{m}}^{{2}} \)

La mia domanda è: per dimostrare "con precisione" l'equivalenza, basta giustificare il fatto che ciascuna equazione/disequazione traduce una frase del problema?

[WiZaRd]

Beh, in teoria occorrerebbe provare che se una terna \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) risolve il problema geometrico, allora risolve il problema algebrico, e viceversa.
Come, al momento, non ne ho idea.

[elios]

Potrei risolvere il sistema e il problema e notare che le soluzioni coincidano, anche se l'esercizio mi richiede espressamente la dimostrazione, e non la risoluzione..

[WiZaRd]

Mah, onestamente alcuni problemi della SNS di quegli anni sono abbastanza curiosi: pensa che ce n'è uno del 1960 talmente semplice che quando l'ho postato sull'OliForum si sono messi a ridere... e avevano ragione: chiedeva di provare che la somma di due radici non era minore di 1 e io complessato dal fatto che il problema fosse della SNS non mi ero accorto che la soluzione stava nel fatto che c'erano le radici.
Magari prova a postare anche sull'OliForum: può darsi che li ci sia qualcuno che abbia la soluzione.

[blackbishop13]

Penso che il quesito sia questo: (ammissione sns, 1960-1961)

Dimostrare che nessun numero reale \( \displaystyle {x}\ne{0} \) soddisfa la disuguaglianza

\( \displaystyle \sqrt{{\frac{{x}}{{{x}-{1}}}}} \) \( \displaystyle + \) \( \displaystyle \sqrt{{{x}}} \) \( \displaystyle \lt{1} \)

I radicali vanno intesi in valore assoluto.


Beh non è che sia difficile in effetti, però non credo che sia risolivibile dicendo: "è vero perchè ci sono le radici", no?

[WiZaRd]

Eh beh... \( \displaystyle {x}\ge{1}\Rightarrow\sqrt{{{x}}}\ge{1} \) e \( \displaystyle {0}\lt{x}\lt{1}\Rightarrow\nexists\sqrt{{\frac{{x}}{{{x}-{1}}}}} \). Stop.
Tornando in topic... hai qualche idea per il problema di elios?

[blackbishop13]

Beh se il quesito ci appare così facile è perchè siamo bravi..

Riguardo al topic..
Io credo che ha abbia detto bene elios, una volta impostato correttamente il sistema si deve mostrare come ogni punto del problema sa riassunto in un'equazione.
Io farei con un esempio: se voglio costruire il truiangolo rettangolo con lati x e y misure reali positive, nel sistema si pongono \( \displaystyle {x}\gt{0} \) e \( \displaystyle {y}\gt{0} \),
il problema dice che x è maggiore di y, e questo è riassunto nella disequazione del sistema \( \displaystyle {x}\gt{y} \),
conosco la lor differenza d, che nel sistema.....

E così via...
Mi pare l'unico modo per dimostrare l'equivalenza senza nemmeno iniziare a risolvere l'esercizio.

[elios]

Dimostrare che il sistema è stato scritto basandosi sul problema è semplice (si va frase per frase), ma usare questo metodo dimostra anche il contrario, cioè che dal sistema si può ricavare il problema?

[giammaria]

Direi di no: ad esempio le formule date non tengono conto del fatto che il triangolo esiste ancora (infatti se ne parla) se i lati vengono diminuiti di k, quindi deve essere y>k. Inoltre non credo che sia mai possibile risalire ad un problema partendo dalle equazioni e disequazioni risolventi: magari le equazioni di elios si riferivano a "Mario ha x mele e y pere...." o qualcosa di simile.

[WiZaRd]

E allora possiamo dire che questo problema è stato ideato in un momento di non totale lucidità mentale da parte degli amici della SNS di Pisa?