dissonance ha scritto:Hai fatto già tutto. Resta solo da scomporre \(\vec{OP}\) in componenti rispetto alla base "nera" \(e_1, e_2, e_3\) e \(\vec{OO'}, \vec{O'P}\) rispetto alla base "rossa" \(f_1, f_2, f_3\). Dopodiché introduci una delle formule di cambiamento di base, da \(e_1, e_2, e_3\) a \(f_1, f_2, f_3\) o quella inversa. In questo modo quella relazione vettoriale diviene un sistema di tre relazioni scalari. Il fatto che il sistema rosso sia mobile significa che queste relazioni dipendono esplicitamente dal tempo.
Ciao, allora, ricapitoliamo un attimo.
Per definizione di somma di due vettori, posso scrivere che \( \displaystyle {\vec{{{O}{P}}}}={\vec{{{O}{O}'}}}+{\vec{{{O}'{P}}}} \). Ora, dal punto di vista matematico, un vettore è individuato dalle sue proiezioni con segno lungo gli assi di un certo sistema di riferimento. Se consideriamo le proiezioni rispetto al riferimento fisso, abbiamo che:
\( \displaystyle {\vec{{{O}{P}}}}={\left({a}_{{1}},{a}_{{2}},{a}_{{3}}\right)} \);
\( \displaystyle {\vec{{{O}'{P}}}}={\left({b}_{{1}},{b}_{{2}},{b}_{{3}}\right)} \);
\( \displaystyle {\vec{{{O}{O}'}}}={\left({c}_{{1}},{c}_{{2}},{c}_{{3}}\right)} \), dove, ripeto, le componenti di questi vettori sono espresse rispetto al sistema di riferimento fisso.
Ora, lungo gli assi del sistema fisso valgono le seguenti uguaglianze:
Lungo \( \displaystyle {x} \): \( \displaystyle {a}_{{1}}={b}_{{1}}+{c}_{{1}} \);
Lungo \( \displaystyle {y} \): \( \displaystyle {a}_{{2}}={b}_{{2}}+{c}_{{2}} \);
Lungo \( \displaystyle {z} \): \( \displaystyle {a}_{{3}}={b}_{{3}}+{c}_{{3}} \), che si possono riscrivere rispetto alle componenti del vettore \( \displaystyle {\vec{{{O}'{P}}}} \):
Lungo \( \displaystyle {x} \): \( \displaystyle {b}_{{1}}={a}_{{1}}-{c}_{{1}} \);
Lungo \( \displaystyle {y} \): \( \displaystyle {b}_{{2}}={a}_{{2}}-{c}_{{2}} \);
Lungo \( \displaystyle {z} \): \( \displaystyle {b}_{{3}}={a}_{{3}}-{c}_{{3}} \).
Quindi ho trovato la relazione che esiste fra le componenti del vettore \( \displaystyle {\vec{{O}}}'{P} \) RISPETTO AL SISTEMA FISSO e le componenti degli altri vettori rispetto allo stesso sistema. Però a me interessa trovare la relazione che esiste fra le componenti del vettore \( \displaystyle {\vec{{O}}}'{P} \) RISPETTO AL SISTEMA MOBILE e le componenti degli altri vettori rispetto al sistema fisso. Allora posso procedere così?
Chiamo \( \displaystyle {\left({x}',{y}',{z}'\right)} \) le componenti di \( \displaystyle {\vec{{O}}}'{P} \) rispetto al sistema mobile. Devono allora esistere per forza tre numeri \( \displaystyle {b}_{{1}}',{b}_{{2}}',{b}_{{3}}' \) tali che:
Lungo \( \displaystyle {x} \): \( \displaystyle {x}'\cdot{b}_{{1}}'={a}_{{1}}-{c}_{{1}} \);
Lungo \( \displaystyle {y} \): \( \displaystyle {y}'\cdot{b}_{{2}}'={a}_{{2}}-{c}_{{2}} \);
Lungo \( \displaystyle {z} \): \( \displaystyle {z}'\cdot{b}_{{3}}'={a}_{{3}}-{c}_{{3}} \), che si puo riscrivere come:
Lungo \( \displaystyle {x} \): \( \displaystyle {x}'={\left(\frac{{1}}{{{b}_{{1}}'}}\right)}{\left({a}_{{1}}-{c}_{{1}}\right)} \);
Lungo \( \displaystyle {y} \): \( \displaystyle {y}'={\left(\frac{{1}}{{{b}_{{2}}'}}\right)}{\left({a}_{{2}}-{c}_{{2}}\right)} \);
Lungo \( \displaystyle {z} \): \( \displaystyle {z}'={\left(\frac{{1}}{{{b}_{{3}}'}}\right)}{\left({a}_{{3}}-{c}_{{3}}\right)} \)
Quindi dovrei aver trovato la relazione che esiste fra le componenti del vettore \( \displaystyle {\vec{{O}}}'{P} \) rispetto al sistema mobile e le componenti degli altri vettori rispetto al sistema fisso.
Va bene?
Grazie.
da lisdap » 06/02/2012, 19:22 
