domanda triviale

[Nebula]

al momento non ho libri o appunti sotto mano.... su che funzioni era definita la trasformata di fourier? solo su \( \displaystyle {{L}}^{{1}} \)?

[amel]

Che io sappia direi proprio di sì.
Sia \( \displaystyle {u}:{\mathbb{R}}^{{n}}\to\mathbb{C} \), la trasformata di Fourier di \( \displaystyle {u} \) è la funzione:
\( \displaystyle {\hat{{u}}}{\left(\xi\right)}=\int_{{{\mathbb{R}}^{{n}}}}{{e}}^{{-{i}\lt\xi,{x}\gt}}{u}{\left({x}\right)}{\left.{d}{x}\right.} \), \( \displaystyle \ \forall\xi\in{\mathbb{R}}^{{n}} \)
E' chiaro che si richiede che la funzione integranda sia sommabile e cioè che lo sia \( \displaystyle {u} \); infatti:
\( \displaystyle {\left|{{e}}^{{-{i}\lt\xi,{x}\gt}}{u}{\left({x}\right)}\right|}={\left|{u}{\left({x}\right)}\right|} \), \( \displaystyle \forall{x}\in{\mathbb{R}}^{{n}} \).