Domande su anelli e ideali

[Chadwick]

Ho grosse difficoltà con l'algebra. Me ne rendo conto, ma il problema è che non riesco proprio a capirla. La teoria la so, nel senso che la so, ma non la capisco, infatti quando mi trovo davanti alla maggior parte degli esercizi, non so come risolverli perchè non so che via posso prendere per trovare la soluzione. Riporto degli esercizi per avere un esempio a disposizione.

1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?

Es. Sia \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{\left(\matrix{{a}+{b}&{b}\\{b}&{a}}\right)}{\mid}{a},{b}\in\mathbb{Q}\right\rbrace} \) ; posto \( \displaystyle \omega=\frac{{{1}-\sqrt{{{5}}}}}{{2}} \), si mostri che l'applicazione \( \displaystyle {f{:}}{A}\to\mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}+{b}&{b}\\{b}&{a}}\right)}\to{a}+{b}\omega \) definisce un morfismo di anelli.

2) Vedere se un ideale è principale e trovare un suo generatore.

Es. In \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{x}\right]} \), \( \displaystyle {I}={\left({{x}}^{{2}}-{1}\right)}\cup{\left({{x}}^{{2}}+{3}{x}+{2}\right)} \) è un ideale principale e determinare un suo generatore.

Grazie a http://www.matematicamente.it/forum/ide ... tml#364005, credo di aver capito intanto che \( \displaystyle {I}={\left({x},{1}\right)} \), che è l'insieme di tutti i polinomi con termine noto non nullo; ma ora come vedo se è principale? L'ideale generato da (x,1) non è un generatore?!

3) Vedere se un ideale è massimale.

Es. In riferimento al punto 2), devo vedere se \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Q}{\left[{x}\right]}}}{{I}} \) è un campo e so che lo è \( \displaystyle \Leftrightarrow \) \( \displaystyle {I} \) è massimale.

Ma come faccio a capire se è massimale?

C'è qualcuno che mi può dare una mano?

Non tanto per l'esame in sè, quanto proprio per riuscire a capirci qualcosa.

Grazie!

[misanino]

1) Che vuol dire definire un morfismo di anelli?

Es. Sia \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{\left(\matrix{{a}+{b}&{b}\\{b}&{a}}\right)}{\mid}{a},{b}\in\mathbb{Q}\right\rbrace} \) ; posto \( \displaystyle \omega=\frac{{{1}-\sqrt{{{5}}}}}{{2}} \), si mostri che l'applicazione \( \displaystyle {f{:}}{A}\to\mathbb{R} \) tale che \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}+{b}&{b}\\{b}&{a}}\right)}\to{a}+{b}\omega \) definisce un morfismo di anelli.

Consideriamo questo primo esercizio.
Prendi 2 elementi \( \displaystyle {x},{y}\in{A} \), cioè \( \displaystyle {x}={\left(\matrix{{a}+{b}&{b}\\{b}&{a}}\right)} \) e \( \displaystyle {y}={\left(\matrix{{c}+{d}&{d}\\{d}&{c}}\right)} \) con \( \displaystyle {a},{b},{c},{d}\in\mathbb{Q} \)
Per mostrare che hai un morfismo di anelli devi mostrare che:
1.\( \displaystyle {f{{\left({x}+{y}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}+{f{{\left({y}\right)}}} \)
2. \( \displaystyle {f{{\left({x}\cdot{y}\right)}}}={f{{\left({x}\right)}}}\cdot{f{{\left({y}\right)}}} \)
3. \( \displaystyle {f{{\left({0}\right)}}}={0} \)
4. \( \displaystyle {f{{\left({i}{d}\right)}}}={1} \)

[Chadwick]

quindi devo semplicemente applicarne la definizione!

Grazie

Per quanto riguarda l'ideale massimale, vorrei capire se basta applicare anche in questo caso la definizione, perchè potrei sfruttare il fatto che in un anello commutativo, ogni ideale massimale è un ideale primo?

[misanino]

Per quanto riguarda l'ideale massimale, vorrei capire se basta applicare anche in questo caso la definizione, perchè potrei sfruttare il fatto che in un anello commutativo, ogni ideale massimale è un ideale primo?

Dipende dall'esercizio.
In alcuni casi si può sfruttare la definizione.
In altri si può vedere se l'anello di partenza quozientato con l'ideale dà un campo

[Chadwick]

In alcuni casi si può sfruttare la definizione.

E' questo che non mi riesce. So che un ideale \( \displaystyle {I} \) di un anello \( \displaystyle {A} \) si dice massimale se e solo se è proprio, cioè \( \displaystyle {I}\ne{A} \), e i soli ideali compresi tra \( \displaystyle {I} \) ed \( \displaystyle {A} \) sono \( \displaystyle {I} \) stesso ed \( \displaystyle {A} \). Ma come faccio a capirlo?

[Martino]

Ma come faccio a capirlo?

Per esempio prova a dimostrare che se \( \displaystyle {p} \) è un numero primo l'ideale \( \displaystyle {p}\mathbb{Z} \) di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è massimale. Se hai voglia di farlo, ti consiglio di seguire questi passi:

Lemma 1. Ogni ideale di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è del tipo \( \displaystyle {n}\mathbb{Z} \) per qualche \( \displaystyle {n}\in\mathbb{Z} \).

Lemma 2. Dire \( \displaystyle {n}\mathbb{Z}\subseteq{m}\mathbb{Z} \) è equivalente a dire che \( \displaystyle {m} \) divide \( \displaystyle {n} \).

Proposizione. Se \( \displaystyle {p} \) è un numero primo l'ideale \( \displaystyle {p}\mathbb{Z} \) di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è massimale.

[Chadwick]

Le dimostrazioni di questi lemmi li ho anche sugli appunti di lezione, però si riferiscono soltanto a \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Ma valgono anche per \( \displaystyle \mathbb{Q} \)?

[Paolo90]

Le dimostrazioni di questi lemmi li ho anche sugli appunti di lezione, però si riferiscono soltanto a \( \displaystyle \mathbb{Z} \). Ma valgono anche per \( \displaystyle \mathbb{Q} \)?

\( \displaystyle \mathbb{Q} \) è un campo, quindi non possiede ideali propri.

[Chadwick]

Quindi \( \displaystyle \mathbb{Q} \) e a maggior ragione \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{x}\right]} \), che contiene \( \displaystyle \mathbb{Q} \), non hanno ideali massimali, giusto?

Perciò \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Q}{\left[{x}\right]}}}{{I}} \), qualunque sia \( \displaystyle {I} \), non è mai un campo?

[Paolo90]

Quindi \( \displaystyle \mathbb{Q} \) e a maggior ragione \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{x}\right]} \), che contiene \( \displaystyle \mathbb{Q} \), non hanno ideali massimali, giusto?

Perciò \( \displaystyle \frac{{\mathbb{Q}{\left[{x}\right]}}}{{I}} \), qualunque sia \( \displaystyle {I} \), non è mai un campo?

\( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \) è un anello (di polinomi) a coefficienti in un campo. Ma \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \) non è un campo, poichè sono invertibili solo i polinomi costanti (che sono per l'appunto gli elementi di \( \displaystyle \mathbb{Q} \)).

Quindi di \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{X}\right]} \) si possono trovare gli ideali (che per altro sono tutti principali, visto che è un PID).

Chiaro? Se hai ancora dubbi chiedi, siamo qui.