Domande sull'elasticità

[lisdap]

Salve, quando si parla di sforzo nel punto \( \displaystyle {P} \), che il mio libro definisce come \( \displaystyle \lim_{{\Delta{S}\to{0}}}\frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \), non si sta facendo altro che considerare la forza applicata nel punto \( \displaystyle {P} \)?

[Faussone]

Salve, quando si parla di sforzo nel punto \( \displaystyle {P} \), che il mio libro definisce come \( \displaystyle \lim_{{\Delta{S}\to{0}}}\frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \), non si sta facendo altro che considerare la forza applicata nel punto \( \displaystyle {P} \)?

Non direi, se la forza fosse applicata veramente in un punto lo sforzo in quel punto sarebbe infinito, non pari ad \( \displaystyle {F} \).

[lisdap]

Salve, quando si parla di sforzo nel punto \( \displaystyle {P} \), che il mio libro definisce come \( \displaystyle \lim_{{\Delta{S}\to{0}}}\frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \), non si sta facendo altro che considerare la forza applicata nel punto \( \displaystyle {P} \)?

Non direi, se la forza fosse applicata veramente in un punto lo sforzo in quel punto sarebbe infinito, non pari ad \( \displaystyle {F} \).

Si, ho capito, lo sforzo in un punto viene definito come la forza totale \( \displaystyle {\vec{{d}}}{F} \) che agisce su una superficie molto piccola \( \displaystyle {d}{S} \). Beh, a questo punto allora mi sorge spontanea la domanda: quanto deve essere piccola la superficie \( \displaystyle {d}{S} \) per poter parlare di sforzo applicato in un punto? Piccola a piacere? Area minore di 0,03 metri quadri?

[Faussone]

La domanda che fai non ha senso: lo sforzo è in generale una funzione della posizione (e della giacitura se parliamo di sforzo in un punto dentro un volume, parlando di pressione la precisazione non è necessaria) quindi lo sforzo nel punto sarà pari al valore della funzione sforzo in quel punto.

[lisdap]

Ciao, allora, queste qua probabilmente sono cose che si studieranno bene nei corsi successivi però il mio professore le ha messe nel programma di fisica 1 e devo saperle. Tutti i libri di fisica che ho consultato sono molto superficiali a riguardo.
Supponiamo di avere un corpo continuo, che sia rigido oppure deformabile non importa. Questo corpo è caratterizzato da una distribuzione continua di materia, quindi, oltre a parlare di forze esterne applicate in punti del corpo si può parlare di forze distribuite esterne sulla superficie del corpo e di forze esterne distribuite sul volume del corpo. Le forze di volume sono forze che si esercitano su ogni particella che costituisce il corpo. Un esempio di forze di volume potrebbe essere la gravità che agisce su un dischetto, oppure la forza centripeta che agisce sul dischetto nel caso in cui esso sia in rotazione giusto? Infatti sia la gravita che la forza centripeta agiscono su ogni particella del corpo continuo.
Le forze di superficie sono forze esercitate da agenti esterni al corpo e che sono distribuite sulla superficie di questo (ad esempio una cassa di legno posta su un pavimento esercita una forza distribuita sulla superficie di contatto).
Ora prendiamo un corpo continuo, sottoposto ad una qualsiasi sollecitazione, che sia in EQUILIBRIO, cioè in quiete. Questo vuol dire che la risultante delle forze agenti su ogni particella del corpo deve essere zero. Questo corpo sarà sottoposto a forze di volume e forze di superficie. Ora se io prendo un punto \( \displaystyle {P} \) interno al corpo e ci faccio passare un piano ideale \( \displaystyle \pi \), su tale piano giaceranno delle particelle. Ogni particella sarà sottoposta alla forza di gravità e a delle forze di natura interne esercitate dalle altre particelle circostanti. Quindi in generale, se prendo la normale \( \displaystyle {\vec{{n}}} \) della superficie, potrò dire che su quel lato della superficie \( \displaystyle \Delta{S} \) sta agendo una forza distribuita su di essa, che il mio libro indica con \( \displaystyle \Delta{\vec{{F}}} \). Posso dunque fare il rapporto \( \displaystyle \frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \) e ottengo una certo vettore. Siccome abbiamo detto che il corpo è in quiete, sull'altro lato del piano, su ogni particella, agiscono tante forze di piccola intensità la cui risultante deve essere un vettore uguale ed opposto a \( \displaystyle \Delta{\vec{{F}}} \) giusto?
Ora fin qui la questione mi è abbastanza chiara. Quello che non capisco è quello che si dice ora. Indicando con \( \displaystyle \Delta{F} \) la forza relativa a \( \displaystyle \Delta{S} \), definiamo sforzo nel punto \( \displaystyle {P} \) la grandezza \( \displaystyle \lim_{{\Delta{S}\to{0}}}\frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \).
Innanzitutto quel \( \displaystyle \frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \) dovrebbe rappresentare un rapporto incrementale, quindi la funzione \( \displaystyle {\vec{{F}}} \) che lì compare dovrebbe dipendere dalla superficie (cosa di cui il mio libro non parla proprio). In secondo luogo non capisco come si possa definire sforzo nel punto \( \displaystyle {P} \) quando il punto non ha area. lo potrei definire in una superficie molto piccola, però poi c'è il problema dello specificare quanto debba essere piccola quella superficie per parlare di sforzo in un punto.
Vorrei dunque che fossi più chiaro circa questa frase che hai scritto nel post precedente:
"lo sforzo è in generale una funzione della posizione ".
Grazie

[Faussone]

A me sembra che quello che non ti è chiaro non è l'aspetto fisico ma matematico: sembra non hai confidenza con il concetto di limite.
Forse non te ne sei reso conto ma il tuo dubbio infatti è lo stesso che dovresti avere riguardo il concetto di derivata di una funzione: la derivata di una funzione \( \displaystyle {F}{\left({x}\right)} \) è il limite per \( \displaystyle \Delta{x}\to{0} \) di \( \displaystyle \frac{{\Delta{F}}}{{\Delta{x}}} \), hai chiaro questo o anche qui hai il dubbio su quanto debba essere piccolo \( \displaystyle \Delta{x} \), o sul fatto che il \( \displaystyle \Delta{F} \) dipenda da \( \displaystyle \Delta{x} \)? Hai chiaro che la derivata è una funzione di \( \displaystyle {x} \) anche lei quindi è definita in ogni punto e non un su un certo \( \displaystyle \Delta{x} \)?
Bene, il discorso è analogo nel caso dello sforzo.

[lisdap]

A me sembra che quello che non ti è chiaro non è l'aspetto fisico ma matematico: sembra non hai confidenza con il concetto di limite.
Forse non te ne sei reso conto ma il tuo dubbio infatti è lo stesso che dovresti avere riguardo il concetto di derivata di una funzione: la derivata di una funzione \( \displaystyle {F}{\left({x}\right)} \) è il limite per \( \displaystyle \Delta{x}\to{0} \) di \( \displaystyle \frac{{\Delta{F}}}{{\Delta{x}}} \), hai chiaro questo o anche qui hai il dubbio su quanto debba essere piccolo \( \displaystyle \Delta{x} \), o sul fatto che il \( \displaystyle \Delta{F} \) dipenda da \( \displaystyle \Delta{x} \)? Hai chiaro che la derivata è una funzione di \( \displaystyle {x} \) anche lei quindi è definita in ogni punto e non un su un certo \( \displaystyle \Delta{x} \)?
Bene, il discorso è analogo nel caso dello sforzo.

Si, i concetti dell'analisi matematica mi sono chiari.
Però considera la velocità istantanea: io prendo la legge oraria \( \displaystyle {x}{\left({t}\right)} \), ne faccio il rapporto incrementale \( \displaystyle \frac{{{x}{\left({t}_{{0}}+\Delta{t}\right)}-{x}{\left({t}_{{0}}\right)}}}{{\Delta{t}}} \) e ottengo una funzione di \( \displaystyle \Delta{t} \). Faccio poi tendere \( \displaystyle \Delta{t}\to{0} \) e il limite, se esiste ed è finito, è la velocità nell'istante \( \displaystyle {t}_{{0}} \). Però nel caso dello sforzo, se io prendo \( \displaystyle \frac{{\Delta{\vec{{F}}}}}{{\Delta{S}}} \) e faccio tendere \( \displaystyle \Delta{S}\to{0} \), quel limite perde di significato, infatti, mentre ha senso di parlare di velocità in ogni istante di tempo, e non solo di velocità media, non ha molto senso parlare di sforzo nel punto. Piuttosto, penso che, facendo il limite per \( \displaystyle \Delta{S} \) che tende a zero di \( \displaystyle \frac{{\Delta{F}}}{{\Delta{S}}} \), una volta che \( \displaystyle \Delta{S} \) è diventato più piccolo di un certo valore, si verifica sperimentalmente che il rapporto \( \displaystyle \frac{{\Delta{F}}}{{\Delta{S}}} \) non varia più al diminuire di \( \displaystyle \Delta{S} \), e quindi si può parlare di sforzo intorno al punto \( \displaystyle {P} \), nel senso che preso un punto \( \displaystyle {P} \) all'interno di un materiale è possibile prendere un'area di certe dimensioni intorno a \( \displaystyle {P} \), area sulla quale agisce una forza superficiale di risultante \( \displaystyle {\vec{\Delta}}{F} \), tale che, \( \displaystyle \frac{{{\vec{\Delta}}{F}}}{{\Delta{S}}} \) è costante se si fa diminuire ulteriormente \( \displaystyle \Delta{S} \).
E poi, se quel limite dovesse essere inteso in maniera perfettamente matematica, \( \displaystyle \Delta{\vec{{F}}} \) dovrebbe essere la variazione di una funzione \( \displaystyle {\vec{{F}}} \), che però da nessuna parte è specificata. Sei d'accordo? Ti ringrazio

EDIT: 1)Io penso che sforzo nel punto \( \displaystyle {P} \) significhi proprio questo: prendo un area molto piccola \( \displaystyle \Delta{S} \) CENTRATA IN UN PUNTO (e il quanto piccolo si decide in base a misure sperimentali) e calcolo \( \displaystyle \frac{{{\vec{\Delta}}{F}}}{{\Delta{S}}}={\vec{{a}}} \): quindi dico che lo sforzo in \( \displaystyle {P} \) vale \( \displaystyle {\vec{{a}}} \), poi passo ad un altro punto e cosi via, costruendo una funzione \( \displaystyle {\vec{{S}}}{\left({x},{y},{z}\right)} \).

2) Supponiamo che esista il limite per \( \displaystyle \Delta{S} \) che tende a zero di quel rapporto. No problem: però qual è il significato fisico di quel limite? Non riesco ad immaginarmelo..

3) Forse hai ragione tu, come c'era da aspettarsi . Penso che la cosa che abbia stravolto i miei ragionamenti è che non avevo in testa l'ipotesi che il corpo è continuo nel senso che i suoi punti sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \), per cui non riuscivo a capacitarmi, senza fare queste ipotesi, del concetto di limite applicato in questo caso.

[lisdap]

Quindi lo stesso discorso si fa per la densità nel punto? Cioè, preso un certo corpo macroscopico e supposto che i suoi punti siano in corrispondenza con gli elementi di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \), allora è possibile eseguire il limite per \( \displaystyle \Delta{V}\to{0} \) del rapporto \( \displaystyle \frac{{\Delta{M}}}{{\Delta{V}}} \), limite che è detto densità nel punto. Calcolando poi tale limite in tutti i punti del corpo, è possibile costruire la funzione densità \( \displaystyle {d}={d}{\left({x},{y},{z}\right)} \)?
Ovviamente, se non si premette che i punti del corpo sono in corrispondenza con \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) non avrebbe senso parlare di limite in questo contesto giusto?
Grazie.

[lisdap]

Ciao Faussone, ti chiedo nuovamente aiuto. Ho un problema con la dimostrazione della relazione di Cauchy. In pratica devo dimostrare che, preso un punto \( \displaystyle {P}_{{0}} \) all'interno di un corpo elastico e valutato lo sforzo in \( \displaystyle {P}_{{0}} \) relativo ad una certa giacitura "obliqua" passante per \( \displaystyle {P}_{{0}} \), tale sforzo può essere espresso come combinazione degli sforzi relativi a tre piani mutuamente ortogonali passanti per \( \displaystyle {P}_{{0}} \).
Quindi, se io voglio dimostrare una relazione simile, devo prendere tre piani mutuamente ortogonali passanti per \( \displaystyle {P}_{{0}} \) ed un piano obliquo PASSANTE ANCH'ESSO per \( \displaystyle {P}_{{0}} \). E perchè invece nella dimostrazione dei libri che ho consultato si prende un tetraedro elementare come nella figura riportata nel link?
In tale tetraedro, infatti, sebbene i tre piani coordinati mutualmente ortogonali passino per \( \displaystyle {P}_{{0}} \), la giacitura obliqua non passa per \( \displaystyle {P}_{{0}} \). Ma se io voglio dimostrare la relazione che esiste tra lo sforzo sulla giacitura obliqua in \( \displaystyle {P}_{{0}} \) e quello relativo a tre piani mutuamente ortogonali passanti per \( \displaystyle {P}_{{0}} \) allora la giacitura obliqua deve passare per forza per \( \displaystyle {P}_{{0}} \)!
Attendo delucidazioni.
Ti ringrazio.

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Cauch ... heorem.jpg

[ELWOOD]

La relazione di Cauchy tende a dimostrare che "data una superficie di normale arbitraria è possibile determinare il valore di tale sforzo sulla superficie conoscendo solamente il vettore normale ad essa e gli sforzi sulle giaciture ad essa ortogonali". Il punto \( \displaystyle {P}_{{0}} \) è solamente il riferimento geometrico dell'area considerata

EDIT: l'area non passa per il punto nella costruzione del tetraedro di Cauchy, ma la superficie si intende infinitesima, per questo la puoi confondere con il riferimento puntuale.