Domini di Dedekind

[bezout]

Ciao a tutti ho un problema:
Non riesco a dimostrare she un sopranello di un dominio di Dedekind è ancora un dominio di Dedekind(ci riesco solo se il sopranello è locale).
Grazie a tutti

[Martino]

Ciao.

Ma non è nemmeno vero: per esempio \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è un dominio di Dedekind mentre \( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{5}}}\right]} \) non lo è (non essendo interamente chiuso: considera per esempio il polinomio monico \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}-{1} \)).

Forse per "sopranello" intendi la chiusura intera in un'estensione finita del campo delle frazioni?
(non si sa mai )

[bezout]

Per sovranello intendo questo:
Sia D un dominio con campo dei quozienti=K,T si dice un sovranello di D se D\( \displaystyle \subseteq \)T\( \displaystyle \subseteq \)K.
Però nell'esempio che mi hai fornito qz(\( \displaystyle \mathbb{Z}{\left[\sqrt{{{5}}}\right]} \))=\( \displaystyle \mathbb{Q}{\left(\sqrt{{{5}}}\right)} \) mentre qz(\( \displaystyle \mathbb{Z} \))=\( \displaystyle \mathbb{Q} \).

[Martino]

Ok, ora ho capito la domanda. Non mi sembra immediato, ci penserò.
Ciao.

[Martino]

Ora che ci penso...
se tu sai dimostrare il fatto quando \( \displaystyle {T} \) è locale, allora puoi localizzare negli ideali primi e usando i seguenti fatti:

- un dominio di Dedekind locale è un DVR;
- un dominio noetheriano tale che i localizzati negli ideali primi sono DVR è un dominio di Dedekind (e viceversa);

ti sei ridotto a mostrare che \( \displaystyle {T} \) è noetheriano.