Dopo i treni, l'aereo

[Nekao]

Un aereo compie un grande e perfetto cerchio parallelo viaggiando a velocità costante e in assenza di vento. Viaggiando alla stessa velocità, ma in presenza di un vento costante in direzione e velocità, l'aereo completerà il cerchio in un tempo minore, maggiore o uguale?

[Marco83]

Onestamente non ho capito cosa significhi "un cerchio parallelo".
Comunque, ammesso che il pilota si accorga della presenza del vento e che pertanto modifichi le sue manovre in modo da ottenere un cerchio di diametro pari al precedente, il tempo di percorrenza sarà identico.
Quello che ci perde viaggiando controvento lo riguadagna nella fase sopravento.

[Nekao]

Per cerchio parallelo, ovviamente, si intende una traettoria dell'aereo che formi un cerchio concentrico con il centro della terra, appunto per mantenere sempre la stessa quota rispetto al suolo.

Ps. la risposta è errata..

[WonderP]

Io conoscevo il problema chiamato "del ciclista" in cui l'atleta deve percorrere un tatto in piano e uno identico ma con delle colline. Lascio agli altri il divertimento. Bella Neako

WonderP.

[MaMo]

Il tempo necessario sarà sempre maggiore.
Io ho trovato una soluzione che implica un integrale ellittico risolvibile solo numericamente.
Prima di andare oltre vorrei una conferma.

[jack]

ma è irrilevante quale sia effettivamente la direzione e il verso del vento?

[asdf]

L'equazione differenziale che descrive il moto è

R d(theta)/dt = v (aereo) + v(vento)*cos(theta)

Se lo calcolo su un periodo

(1/R)T = int(1/(v(aereo)+v(vento)*cos(theta))d(theta) tra 0 e 2pi.

[Nekao]

La direzione e la velocità del vento è irrilevante purchè si mantenga costante nel tempo. Forse non è il caso di ricorrere agli integrali ellittici. Ci si può facilmente convincere che il tempo necessario sarà maggiore. Per metà esatta del percorso circolare il vento aumenta la velocità dell'aereo rispetto alla terra, mentre per l'altra metà il vento la ritarda. Si è quindi tentati di dire che queste forze si fanno equilibrio e che quindi il tempo impiegato dall'aereo a compiere l'intero cerchio sia lo stesso in assenza e in presenza di vento. Non è però così, dato che il tempo durante il quale l'aereo è spinto è ovviamente più breve del tempo durante il quale è ritardato, col risultato che il tempo totale in presenza di vento è maggiore di quello impiegato in assenza di vento

[asdf]

Confermo il tuo risultato, mi sono messo un po' a giochicchiare con il Derive 6 per verificarlo. La soluzione approssimata dell'integrale che mi dava lui in effetti conferma che il tempo è maggiore (in realtà la soluzione sua è definita a partire dall'ipotesi che la velocità dell'aereo sia maggiore di quella del vento, ma non perde in generalità supporre il contrario)... Comunque grazie mille, mi hai fatto scoprire che il Derive fa anche certi calcoli simbolici

[MaMo]

Io ho trovato la seguente soluzione.
Il tempo impiegato dall'aereo si ricava dal seguente integrale ellittico:
t = [R/(v1^2 - v2^2)]INT(da 0 a 2*pi)[sqrt(v1^2 - v2^2*cos^2x)]dx
dove v1 è la velocità dell'aereo e v2 quella del vento.
Non sono sicuro che sia giusta ed è sicuramente meno "bella" di quella di asdf.