Duale algebrico di spazio vettoriale di dimensione infinita

[lo_scrondo]

Ciao a tutti ragazzi,
probabilmente la mia domanda sarà di una banalità assoluta, per cui mi scuso in anticipo. Tuttavia -e pur avendo fatto un search sul forum- ancora non riesco a raccapezzarmi..In sostanza:

Se \( \displaystyle {{R}}^{\omega} \) è lo spazio delle successioni di numeri reali definitivamente nulle (e dispone di una base indicizzata da \( \displaystyle \mathbb{N} \)), il suo duale può essere pensato come lo spazio di tutte le successioni di numeri reali, \( \displaystyle {{R}}^{\mathbb{N}} \). Com'è allora possibile che, se \( \displaystyle {{R}}^{\omega} \) ha una dimensione numerabile, \( \displaystyle {{R}}^{\mathbb{N}} \) invece abbia una base NON numerabile?? Voglio dire, la base di quest'ultimo non dovrebbe essere ancora \( \displaystyle \mathbb{N} \)???

Grazie in advance!

[dissonance]

Abbiamo parlato esattamente di questa faccenda poco tempo fa, qui: http://www.matematicamente.it/forum/dua ... 40327.html

[lo_scrondo]

dissonance, quando dicevo di aver già svolto una ricerca sul forum, mi riferivo proprio a quella discussione..
..tuttavia ammetto di non capire ancora ..

In termini massimamente banali, come può \( \displaystyle {{R}}^{\mathbb{N}} \) avere una base non numerabile?

[dissonance]

Ah ecco non avevo capito. In realtà il motore di ricerca non è molto intuitivo (ti confesso che ha ancora molti segreti per me ) quindi pensavo non avessi trovato quella discussione.

Per la domanda dovresti aggiustare un po' il tiro. Cosa non ti è chiaro:
che lo spazio delle serie di potenze formali non abbia dimensione numerabile?
che lo spazio delle serie di potenze formali sia il duale algebrico dello spazio dei polinomi?

[lo_scrondo]

Grazie dissonance, in realtà la domanda è un "concentrato" di entrambe quelle che hai scritto. Glissando sul mio lessico non ortodosso, diciamola così: se l'elemento \( \displaystyle {f} \) di \( \displaystyle {V}# \) (duale di \( \displaystyle {V} \)) è una successione con numero non numerabile di elementi essa può essere applicata all'elemento \( \displaystyle {x} \) di \( \displaystyle {V} \), che ha base numerabile?
Inoltre pongo di nuovo la domanda:

In termini massimamente banali, come può \( \displaystyle {{R}}^{\mathbb{N}} \) avere una base non numerabile?

[lo_scrondo]

Posso quindi cominciare col chiederti perchè

lo spazio delle serie di potenze formali non abbia dimensione numerabile?

[NightKnight]

duale algebrico

Ci sono altri tipi di duale?

[dissonance]

@NightKnight: Sì. Negli spazi vettoriali topologici un sottospazio del duale algebrico è il duale topologico, costituito dalle forme lineari continue. Poi non so se ci sono altre nozioni affini, può benissimo essere.

@scrondo: Scusa il ritardo! Dunque, che il duale algebrico dei polinomi sia lo spazio delle serie di potenze è spiegato molto chiaramente da ViciousGoblin nell'altro post. Tieni presente la regola nasometrica:

più lo spazio vettoriale è "piccolo", più lo spazio duale è "grande".

Se hai bisogno di altre informazioni su questo, ne possiamo riparlare.

Invece per il fatto della dimensione delle serie di potenze, io partirei da un'osservazione:
una base algebrica genera lo spazio per mezzo delle combinazioni lineari finite.

Questo funziona bene con i polinomi: se consideriamo l'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{X},{{X}}^{{2}},\ldots\right\rbrace} \), facendone combinazioni lineari finite possiamo costruirli tutti. Ma per le serie di potenze, che non sono combinazioni lineari finite di questi monomi, il trucco non funziona più. Ecco allora che per beccare tutte le serie di potenze bisogna considerare qualcosa di più grande di \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{X},{{X}}^{{2}}\ldots\right\rbrace} \). Quanto più grande? Parecchio: qualunque insieme numerabile avrà sempre lo stesso problema.

Certo dimostrare formalmente quest'ultima affermazione non è banalissimo. Un ragionamento semplice nel caso in cui il campo degli scalari sia \( \displaystyle \mathbb{Q} \) è contenuto nell'altro topic (sempre ad opera di ViciousGoblin) qui: http://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#300836

Spero di avere fornito almeno un quadro intuitivo della faccenda.

[ViciousGoblin]

Non ho mica capito come vada questa cosa ( e comunqe non mi pare banale).

Questa mattina, dato che sono stato citato da dissonance, mi sono detto "beh adesso vado io e sistemo tutto" ...
detto fatto mi sono messo a tentare di far vedere che l'insieme delle combinazioni lineari finite
degli elementi di un'ipotetica base numerabile di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{\mathbb{N}}} \) ha cardinalita' piu' bassa di tutto \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{\mathbb{N}}} \)
(che era il sistema che avevo escogitato nel caso in cui al posto di \( \displaystyle \mathbb{R} \) ci fosse \( \displaystyle \mathbb{Q} \)).

Beh dopo un'oretta persa a sistemare i dettagli ho verificato, come mi aspettavo, che la cardinalita' delle combinazioni lineari finite
- a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{R} \) - di un insieme numerabile ha la cardinalita' del continuo.
A questo punto pensavo di aver concluso, la cardinalita' di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{\mathbb{N}}} \) sara' piu' della cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{R} \).... INVECE NO la cardinalita' di
\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{\mathbb{N}}} \) e' pari alla cardinalita' di \( \displaystyle \mathbb{R} \) (e' scritto da piu' parti e, una volta saputolo, ho trovato abbastanza facilmente una dimostrazione).

Quindi se i coefficienti sono in \( \displaystyle \mathbb{R} \) il fatto che la base debba essere piu' che numerabile non mi sembra possa uscire da semplici questioni
di cardinalita', se e' vero deve entrarci la struttura di spazio vettoriale - io in questo momento non saprei come farlo.

ALGEBRISTI HELP

[lo_scrondo]

@NightKnight: intendevo anch'io lo spazio duale topologico.

@dissonance: grazie della tua lucida esposizione, mi ha illuminato e "confortato" in qualcosa che molto "nasometricamente" (bella questa ) sentivo dovesse essere il bandolo della matassa. Complici anche degli appunti non precisissimi, qualcosa tuttavia ancora non l'ho colto al 100%..Sono però un tantinello cotto (domani ho biochimica..), perciò aspetto che i dubbi si sedimentino in una domanda precisa..potrò disturbarti ancora nel caso?

@ViciousGoblin: complimenti per le dimostrazioni!

Quindi se i coefficienti sono in \( \displaystyle \mathbb{R} \) il fatto che la base debba essere piu' che numerabile non mi sembra possa uscire da semplici questioni
di cardinalita', se e' vero deve entrarci la struttura di spazio vettoriale - io in questo momento non saprei come farlo.

That's it