duali di spazi vettoriali di dimensione infinita

[NightKnight]

1) Vorrei avere un esempio esplicito di uno spazio vettoriale \( \displaystyle {V} \) tale che \( \displaystyle \dim{V}\lt\dim{{V}}^{{\star}} \), cioè la dimensione di \( \displaystyle {V} \) è strettamente minore della dimensione del duale.

2) Si può dimostrare che in generale per ogni spazio vettoriale \( \displaystyle \dim{V}\le\dim{{V}}^{{\star}} \)?

[dissonance]

1) So che si può dimostrare che il duale algebrico dei polinomi reali (dimensione numerabile) è isomorfo allo spazio delle serie formali di potenze che invece non ha una base numerabile.

2) Sì: data una base algebrica di \( \displaystyle {V} \), diciamo \( \displaystyle {\left\lbrace{v}_{\alpha}\ :\ \alpha\in{A}\right\rbrace} \), puoi costruire una famiglia \( \displaystyle {\left\lbrace{d}{v}_{\alpha}\ :\ \alpha\in{A}\right\rbrace} \) di forme lineari definite come nel caso finito dimensionale (ogni vettore di \( \displaystyle {V} \) si scrive come \( \displaystyle {v}=\lambda_{{1}}{v}_{{\alpha_{{1}}}}+\ldots+\lambda_{{n}}{v}_{{\alpha_{{n}}}} \) per una opportuna scelta di \( \displaystyle {v}_{{\alpha_{{1}}}}\ldots{v}_{{\alpha_{{n}}}} \) e \( \displaystyle {d}{v}_{{\alpha_{{i}}}}{\left({v}\right)}=\alpha_{{i}} \) è allora una forma lineare). Questa famiglia dovrebbe essere lin. indipendente, se non mi sbaglio. Quindi ogni base algebrica avrà cardinalità maggiore o uguale alla cardinalità di \( \displaystyle {A} \).

[NightKnight]

1) So che si può dimostrare che il duale algebrico dei polinomi reali (dimensione numerabile) è isomorfo allo spazio delle serie formali di potenze che invece non ha una base numerabile.

2) Sì: data una base algebrica di \( \displaystyle {V} \), diciamo \( \displaystyle {\left\lbrace{v}_{\alpha}\ :\ \alpha\in{A}\right\rbrace} \), puoi costruire una famiglia \( \displaystyle {\left\lbrace{d}{v}_{\alpha}\ :\ \alpha\in{A}\right\rbrace} \) di forme lineari definite come nel caso finito dimensionale (ogni vettore di \( \displaystyle {V} \) si scrive come \( \displaystyle {v}=\lambda_{{1}}{v}_{{\alpha_{{1}}}}+\ldots+\lambda_{{n}}{v}_{{\alpha_{{n}}}} \) per una opportuna scelta di \( \displaystyle {v}_{{\alpha_{{1}}}}\ldots{v}_{{\alpha_{{n}}}} \) e \( \displaystyle {d}{v}_{{\alpha_{{i}}}}{\left({v}\right)}=\alpha_{{i}} \) è allora una forma lineare). Questa famiglia dovrebbe essere lin. indipendente, se non mi sbaglio. Quindi ogni base algebrica avrà cardinalità maggiore o uguale alla cardinalità di \( \displaystyle {A} \).

Per il 2) anch'io avevo pensato a quello e credo che funzioni, anche se non sono troppo esperto con le dimensioni infinite.
Per 1) invece ti chiedo: il tuo "So" significa che lo sai fare o lo hai sentito dire?

[dissonance]

"So" significa che l'ho sentito dire, e mi ricordo anche dove: si tratta del pdf di M.Cailotto http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ78pp.pdf , pag. 77 problema 5.9.

Come vedi è lasciato per esercizio marcato come "molto difficile", tempo fa ho provato a ragionarci su ma non sono approdato a nulla. Anzi, se ti dovesse venire qualche idea non ti fare problemi a postare!

[ViciousGoblin]

Dimostrare che il duale dei polinomi e' lo spazio delle serie formali non mi sembra impossibile
(anche se non vorrei che mi sfuggisse qualcosa, visto che ho appena letto le definizioni).

Se ho capito lo spazio dei polinomi, per esempio a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{R} \), che, mi pare, dovrebbe
scriversi come \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{X}\right]} \) e' praticamente lo spazio delle successioni a valori in \( \displaystyle \mathbb{R} \) che sono definitivamente nulle
mentre lo spazio delle serie formali \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) dovrebbe essere lo spazio di tutte le successioni a valori in \( \displaystyle \mathbb{R} \).

Allora se \( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}=\sum_{{\mathbb{N}}}\phi_{{n}}{{X}}^{{n}} \) e' in elemento di \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) possiamo senz'altro definire la
forma lineare che a \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)}=\sum_{{{n}\in\mathbb{N}}}{{X}}^{{n}} \) elemento di \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{X}\right]} \) associa
\( \displaystyle \Phi{\left({p}\right)}\:=\sum_{{{n}\in\mathbb{N}}}\phi_{{n}}{p}_{{n}} \) (dato che questa e' una somma finita essendo \( \displaystyle {p} \) un polinonio)

Viceversa se \( \displaystyle \Phi \) e' una forma lineare su \( \displaystyle {C}{\left[{X}\right]} \) possiamo definire
\( \displaystyle \phi_{{0}}\:=\Phi{\left({1}\right)} \), \( \displaystyle \phi_{{1}}\:=\Phi{\left({x}\right)} \), \( \displaystyle \phi_{{2}}\:=\Phi{\left({{x}}^{{2}}\right)} \),....,\( \displaystyle \phi_{{n}}\:=\Phi{\left({{x}}^{{n}}\right)} \),...
In questo modo si individua \( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}=\sum_{{{n}\in\mathbb{N}}}\phi_{{n}}{{X}}^{{n}} \) in \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) che, per linearita' , deve verificare
\( \displaystyle \Phi{\left({p}\right)}\:=\sum_{{{n}\in\mathbb{N}}}\phi_{{n}}{p}_{{n}} \)

O mi sono perso un punto importante ?

[NightKnight]

Mi sembra funzioni tutto.

\( \displaystyle \dim{K}{\left[{X}\right]}=\aleph_{{0}} \) perché una base è \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{X},{{X}}^{{2}},\ldots,{{X}}^{{n}},\ldots\right\rbrace} \).
E invece \( \displaystyle \dim{K}{\left[{\left[{X}\right]}\right]}=? \)

[dissonance]

Credo che \( \displaystyle {K}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) non possa avere una base numerabile se \( \displaystyle {K} \) è almeno numerabile. Dimostrarlo però non mi sta riuscendo. Direi che la strada più semplice sia metterci in \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) e trovare una famiglia linearmente indipendente e più che numerabile di serie di potenze formali.

Pensavo di associare ad ogni parte \( \displaystyle {S}\subset\mathbb{Z} \) la serie di potenze corrispondente, nel senso che se \( \displaystyle {S}={\left\lbrace{s}_{{1}},{s}_{{2}},\ldots,{s}_{{n}},\ldots\right\rbrace} \) allora chiameremo \( \displaystyle {P}_{{S}}{\left({X}\right)}={s}_{{1}}{{X}}^{{{s}_{{1}}}}+{s}_{{2}}{{X}}^{{{s}_{{2}}}}+\ldots+{s}_{{n}}{{X}}^{{{s}_{{n}}}}+\ldots \). La famiglia \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{P}_{{S}}{\left({X}\right)}\ :\ {S}\subset\mathbb{Z}\right\rbrace} \) è più che numerabile, ma non è linearmente indipendente. (*)

Però penso che si riesca a fabbricare un sottoinsieme linearmente indipendente scartando da \( \displaystyle {B} \) una infinità numerabile di elementi, una costruzione come in questo esempio:
definiamo l'applicazione \( \displaystyle \pi_{{n}}{\left({P}{\left({X}\right)}\right)}=\pi_{{n}}{\left({a}_{{0}}+{a}_{{1}}{X}+{a}_{{2}}{{X}}^{{2}}+\ldots\right)}={a}_{{n}} \).
Per \( \displaystyle {n}={1} \): scartiamo da \( \displaystyle {B} \) tutte le serie \( \displaystyle {P}{\left({X}\right)} \) tali che \( \displaystyle \pi_{{1}}{\left({P}{\left({X}\right)}\right)}={0} \);
Per \( \displaystyle {n}={2} \): scartiamo da \( \displaystyle {B} \) tutte le serie \( \displaystyle {P}{\left({X}\right)} \) tali che \( \displaystyle \pi_{{2}}{\left({P}{\left({X}\right)}\right)}={0} \);
(...).

Questa costruzione in particolare non porta ad un insieme linearmente indipendente perché ad esempio \( \displaystyle {1}+{X}+{{X}}^{{2}}+\ldots \) e \( \displaystyle {2}+{2}{X}+{2}{{X}}^{{2}}+\ldots \) restano in \( \displaystyle {B} \) dopo tutti gli scarti. Ma penso che questo meccanismo possa dare i suoi frutti.

______________________
P.S.: E' più semplice se invece di questa famiglia \( \displaystyle {B} \) complicata prendiamo la famiglia \( \displaystyle {B}={\left\lbrace{a}_{{0}}+{a}_{{1}}{X}+{a}_{{2}}{{X}}^{{2}}+\ldots\ :\ {a}_{{i}}\in{\left\lbrace{0},{1}\right\rbrace}\right\rbrace} \). Questa è già da sola più che numerabile, anche se non ancora linearmente indipendente.

[dissonance]

Un'idea alternativa:
come sappiamo ogni numero reale \( \displaystyle {x} \) compreso tra 0 e 1 ha un'unica rappresentazione decimale binaria \( \displaystyle {x}={0}.{d}_{{1}}{\left({x}\right)}{d}_{{2}}{\left({x}\right)}\ldots{d}_{{n}}{\left({x}\right)}\ldots \), con \( \displaystyle {d}_{{n}}{\left({x}\right)}\in{\left\lbrace{0},{1}\right\rbrace} \), se imponiamo che la \( \displaystyle {\left({d}_{{1}}{\left({x}\right)},{d}_{{2}}{\left({x}\right)},\ldots\right)} \) non sia definitivamente uguale ad 1.

Questo definisce una associazione \( \displaystyle {F}{\left({x}\right)}={F}{\left({0}.{d}_{{1}}{\left({x}\right)}{d}_{{2}}{\left({x}\right)}\ldots{d}_{{n}}{\left({x}\right)}\ldots\right)}={d}_{{1}}{\left({x}\right)}{X}+{d}_{{2}}{\left({x}\right)}{{X}}^{{2}}+\ldots+{d}_{{n}}{\left({x}\right)}{{X}}^{{n}}+\ldots \) tra l'intervallo \( \displaystyle {\left[{0},{1}\right)} \) e un sottoinsieme di \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \). L'idea è che l'immagine mediante \( \displaystyle {F} \) dei soli irrazionali compresi tra \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {1} \) deve essere un insieme linearmente indipendente di serie di potenze.

Questo fatto mi pare vero, ma devo ancora dimostrarlo.

[ViciousGoblin]

@dissonance La tua ultima idea alternativa mi sembra una riproposizione della precedente in cui data una parte \( \displaystyle {A} \) di \( \displaystyle \mathbb{N} \) gli associ la serie
formale \( \displaystyle \sum_{{{n}\in{A}}}{{X}}^{{n}} \). L'unica differenza e' che, associando ad \( \displaystyle {A} \) il numero reale \( \displaystyle \sum_{{{n}\in{A}}}{{\left(\frac{{1}}{{2}}\right)}}^{{n}} \) (in maniera surgettiva) riesci
a dimostrare che le parti di \( \displaystyle \mathbb{N} \) hanno cardinalita' maggiore della cardinalita' dell'intervallo \( \displaystyle \]{0},{1}{\left[\right.} \), e quindi piu' che numerabile.


In effetti, pero', la prima cosa che viene in mente (soprattutto se si pensa istintivamente allo spazio \( \displaystyle {{l}}^{\infty} \)) e' di fare come dissonance, ma la cosa sembra meno
facile di quanto non ci si aspetti. Pensandoci e ripensandoci (durante i miei spostamenti in macchina ...) mi e' venuto in mente un'altra idea (simile) che vi propongo.

Prendiamo per semplicita' i coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) (che e' numerabile) e cerchiamo di dimostrare che la dimensione di \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) e' piu' che numerabile.
Supponiamo per assurdo che \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) abbia una base numerabile \( \displaystyle \phi_{{1}},\ldots,\phi_{{n}},\ldots \). Allora per ogni \( \displaystyle {n} \) l'insieme
\( \displaystyle {F}_{{n}}={\left\lbrace{\sum_{{{k}={1}}}^{{n}}}{q}_{{i}}\phi_{{i}},{q}_{{i}}\in\mathbb{Q}\right\rbrace} \) e' numerabile (prodotto finito di insiemi numerabili), da cui
\( \displaystyle {F}\:=\bigcup{F}_{{n}} \) e' numerabile.

Ma se le \( \displaystyle \phi_{{i}} \) sono una base, allora \( \displaystyle {F}=\mathbb{Q}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) da cui \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) sarebbe numerabile.
Ma questo non e' possibile dato che, ragionando come dissonance, ha almeno la cardinalita' delle parti di \( \displaystyle \mathbb{N} \).

Che ne dite?

[ViciousGoblin]

Girando su internet ho trovato una dimostrazione piu' semplice e piu' esplicita.
Se consideriamo \( \displaystyle \mathbb{R}{\left[{\left[{X}\right]}\right]} \) possiamo considerare, per ogni \( \displaystyle \lambda \) reale l'elemento
\( \displaystyle {v}_{\lambda}\:=\sum_{{{n}\in\mathbb{N}}}{{2}}^{{\lambda{n}}}{{x}}^{{n}} \)
Sembra (non ho fatto la verifica, ma c'e' da crederci) che i \( \displaystyle {v}_{\lambda} \) siano tutti linearmente indipendenti.