Dubbi su alcuni esercizi sugli anelli

[fallendaydreamer]

1)
Sia \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) un anello e si consideri \( \displaystyle {n}\in\ {N}\text{*} \) (N privato dello zero)
Si provi che \( \displaystyle {A}{n}={\left\lbrace{n}{a};{a}\in{A}\right\rbrace} \) è un sottoanello di A.

Secondo me la traccia non è completa per poter risolvere l'esercizio. Ed è necessario conoscere l'insieme A.
In quanto le primissime condizioni dei sottoanelli affermano che l'insieme del sottoanello non dev'essere vuoto e dev'essere contenuto in A, cioè l'insieme dell'anello.
Se ad esempio prendiamo \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{0},{1},{2},{3},{4}\right\rbrace} \), allora \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) è un anello, e se prendiamo \( \displaystyle {n}={10} \) e \( \displaystyle {a}={4}\in{A} \), allora il "sottoanello" \( \displaystyle {A}{10} \) conterrà almeno l'elemento \( \displaystyle {10}\cdot{4}={40} \), elemento che però non appartiene all'insieme \( \displaystyle {A} \). Quindi \( \displaystyle {A}{10} \) non è sottoinsieme di \( \displaystyle {A} \), nè tantomeno si può parlare quindi del sottoanello \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \)... Questo non succederebbe per \( \displaystyle {A}={Z} \).
Non è così?
Però la traccia ne parla come se la dimostrazione del fatto che quello sia o meno un sottoanello debba valere in generale e comunque, quando invece ciò cambia a seconda dell'insieme A, che però non conosciamo e quindi non possiamo esprimerci in generale come si dovrebbe.

2)
Siano \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) un anello unitario e si considerino le operazioni \( \displaystyle \text{*} \),\( \displaystyle ° \) tali che
\( \displaystyle {a}\text{*}{b}={a}+{b}-{1}{A} \) (dove noi con 1A indichiamo l'elemento neutro di \( \displaystyle \cdot \), quindi 1)
\( \displaystyle {a}°{b}={a}+{b}-{a}{b} \)
Si provi che \( \displaystyle {\left({A},\text{*},°\right)} \) è un anello.
Anche qui stesso problema.
Devo dimostrare innanzitutto che \( \displaystyle {\left({A},\text{*}\right)} \) è un gruppo abeliano. Dimostro l'associativa, la commutativa, la presenza dell'elemento neutro, mi resta da dimostrare che ogni elemento è invertibile e che l'inverso di ogni elemento appartiene all'insieme di partenza.
L'inverso di ogni elemento \( \displaystyle {a}\in{A} \) è \( \displaystyle {2}{\left({1}{A}\right)}-{a}={2}-{a} \). Adesso, chi ci assicura che \( \displaystyle {2}-{a}\in\ {A} \)?
Anche qui, infatti, con degli esempi numerici non ci troviamo:
Posto \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{0},{1},{2},{3},{4}\right\rbrace} \),
Preso l'elemento \( \displaystyle {4} \), l'inverso di \( \displaystyle {4} \) per \( \displaystyle \text{*} \) è \( \displaystyle {2}-{4}=-{2} \), \( \displaystyle -{2} \) però non appartiene ad \( \displaystyle {A} \), quindi \( \displaystyle {\left({A},\text{*}\right)} \) non è invertibile per ogni elemento e quindi non è gruppo. Non essendo gruppo, allora \( \displaystyle {\left({A},\text{*},°\right)} \) non è anello.
Questo ovviamente non succederebbe se A=Z, in questo caso sarebbe invertibile e si potrebbe proseguire con la dimostrazione che anche \( \displaystyle {\left({A},\text{*},°\right)} \) è anello.

E' qualcosa che io non capisco, o effettivamente nelle tracce dovrebbero precisare gli elementi dell'insieme A?

3)
Sia \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) anello unitario e sia \( \displaystyle {a}\in\ {A} \), \( \displaystyle {a} \) diverso da \( \displaystyle {0} \), tale che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={0} \).
Si calcolino
\( \displaystyle {\left({1}+{a}\right)}{\left({1}-{a}\right)} \)
\( \displaystyle {\left({1}-{a}\right)}{\left({1}+{a}\right)} \)
e si interpreti il risultato così ottenuto.
Si trovino gli elementi di \( \displaystyle {Z}{9} \) soddisfacenti la condizione precedente.

Innanzitutto non capisco come possa esistere un numero diverso da zero che elevato al quadrato dia come risultato zero, e già qui è un problema. Con \( \displaystyle {Z}{9} \)i invece è diverso, in quanto la condizione precedente credo diventi che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}={\left[{0}\right]}{9} \), e infatti esiste \( \displaystyle {\left[{3}\right]}{9} \) che soddisfa ciò, elevato al quadrato da \( \displaystyle {\left[{0}\right]}{9} \). Ma si tratta appunto di classi di equivalenza, coi numeri invece non capisco come una cosa del genere possa avere senso ...
Detto questo moltiplicando le due espressioni viene a entrambe \( \displaystyle {1}-{{a}}^{{2}}={1} \). Il risultato ottenuto lo interpreto dicendo che vale la proprietà commutativa anche per \( \displaystyle \cdot \), ma non so se posso estendere questa considerazione per dire che \( \displaystyle {\left({A},\cdot\right)} \) è semigruppo abeliano e che quindi \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) è un anello unitario commutativo.
Nel senso, non ho dimostrato la commutatività rispettoa \( \displaystyle \cdot \) fra due elementi qualsiasi di \( \displaystyle {A} \), ma fra due somme algebriche specifiche
E questo mi mette in difficoltà sul poter affermare liberamente che è un semigruppo abeliano. Ovvio, potrei dimostrarlo a parte, ma io parlo dell'interpretazione richiesta dalla traccia... stando alla traccia mi devo limitare a dire che commutano quelle somme algebriche rispetto a \( \displaystyle \cdot \) o devo dire proprio che è un semigruppo abeliano? Nel caso del semigruppo abeliano, perchè?

Grazie.

[gugo82]

prendiamo \( \displaystyle {A}={\left\lbrace{0},{1},{2},{3},{4}\right\rbrace} \), allora \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) è un anello

Rispetto a quali operazioni \( \displaystyle +,\ \cdot \) ?

Ad esempio, se prendi la somma ed il prodotto usuali tra numeri interi allora \( \displaystyle 2+3=5\notin A \) e \( \displaystyle 2\cdot 3=6 \notin A \) , sicché \( \displaystyle A \) non è affatto un anello...

Inoltre che in qualunque anello \( \displaystyle (A,+,\cdot ) \) si ha \( \displaystyle n a\in A \) per ogni \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) e per ogni \( \displaystyle a\in A \) si dimostra facilmente per induzione. Provare per credere.

[WiZaRd]

1)
Innanzitutto non capisco come possa esistere un numero diverso da zero che elevato al quadrato dia come risultato zero, e già qui è un problema.

Secondo me ti sei affezzionato troppo ai numeri. Chi ti ha detto che gli elementi del sostegno \( \displaystyle A \) di un anello debbano essere numeri? E chi ti ha detto che lo \( \displaystyle 0 \) dell'anello debba essere lo \( \displaystyle 0 \) degli insiemi numerici?

[Martino]

Mi associo a WiZaRd: chi ha mai parlato di numeri?

Detto questo moltiplicando le due espressioni viene a entrambe \( \displaystyle {1}-{{a}}^{{2}}={1} \). Il risultato ottenuto lo interpreto dicendo che vale la proprietà commutativa anche per \( \displaystyle \cdot \), ma non so se posso estendere questa considerazione per dire che \( \displaystyle {\left({A},\cdot\right)} \) è semigruppo abeliano e che quindi \( \displaystyle {\left({A},+,\cdot\right)} \) è un anello unitario commutativo.
Nel senso, non ho dimostrato la commutatività rispettoa \( \displaystyle \cdot \) fra due elementi qualsiasi di \( \displaystyle {A} \), ma fra due somme algebriche specifiche
E questo mi mette in difficoltà sul poter affermare liberamente che è un semigruppo abeliano. Ovvio, potrei dimostrarlo a parte, ma io parlo dell'interpretazione richiesta dalla traccia... stando alla traccia mi devo limitare a dire che commutano quelle somme algebriche rispetto a \( \displaystyle \cdot \) o devo dire proprio che è un semigruppo abeliano? Nel caso del semigruppo abeliano, perchè?

Come mai ti preoccupi di dimostrare che \( \displaystyle {\left({A},\cdot\right)} \) è un semigruppo abeliano? Intanto, \( \displaystyle {\left({A},\cdot\right)} \) è un semigruppo per ipotesi, e poi nessuno ti chiede di dimostrare che è abeliano (cosa che tra l'altro non puoi fare).
L'interpretazione "naturale" dell'uguaglianza \( \displaystyle {\left({1}+{a}\right)}{\left({1}-{a}\right)}={\left({1}-{a}\right)}{\left({1}+{a}\right)}={1} \) è che i due elementi \( \displaystyle {1}+{a} \) e \( \displaystyle {1}-{a} \) sono invertibili.

Non hai dimostrato la proprietà commutativa per due elementi qualsiasi, ma solo per quei due per cui l'hai dimostrata.

[fallendaydreamer]

Innanzitutto grazie a tutti.

@Gugo82: le operazioni non sono specificate, ma di solito indichiamo con \( \displaystyle \text{*} \) e \( \displaystyle ° \) operazioni diverse dall'usuale somma e prodotto... effettivamente ho sbagliato a dire che quello scritto da me è un anello... In pratica l'insieme \( \displaystyle {A} \), ammesso che sia formato da elementi esclusivamente numerici, e dotato delle semplici operazioni di somma e prodotto, per essere un anello deve necessariamente essere \( \displaystyle {Z} \), giusto?
Ora provo a dimostrare comunque

@WiZaRd: so che gli elementi di un insieme non sono necessariamente numeri, infatti dopo ho scritto che per \( \displaystyle {Z}{9} \) riesco a trovare un filo logico. Lo zero dell'anello l'abbiamo sempre indicato con \( \displaystyle {0}{A} \), e non semplicemente con lo zero, per questo pensavo che lo zero in questione fosse lo zero numerico, e non lo zero dell'anello.

@Martino: era proprio quello il mio dubbio. Non avendo colto il fatto che gli elementi fossero invertibili, stavo cercando di dare un'interpretazione più concreta, e cioè che vale sempre la proprietà commutativa ed è semigruppo abeliano, non era una mia preoccupazione di principio. Ma adesso che mi hai confermato che la commutativa è dimostrata solo per quei due elementi e mi hai dato lo stesso una interpretazione concreta e cioè che sono invertibili, sto a posto.

[Gaal Dornick]

Io leggerei la cosa così, data la generalità della traccia. Magari non è la cosa giusta, ma allora la traccia è incompleta.
Definiamo l'azione di \( \displaystyle \mathbb{Z} \) su \( \displaystyle {A} \) in questo modo:
Sia \( \displaystyle {n}\in\mathbb{Z} \). Allora se \( \displaystyle {n}\lt{0} \) poniamo \( \displaystyle {n}\cdot{a}=-{\left({a}+..+{a}\right)} \) (sommato \( \displaystyle -{n} \) volte)
se \( \displaystyle {n}={0} \): \( \displaystyle {0} \)
se \( \displaystyle {n}\gt{0} \): \( \displaystyle {\left({a}+..+{a}\right)} \) (sommato \( \displaystyle {n} \) volte).

Così diamo senso alla scrittura \( \displaystyle {n}{a} \), che altrimenti non saprei dire cosa significa.
Con quest'ipotesi,è vera la 1).

[fallendaydreamer]

Grazie Gaal Dornick, credo che sia proprio questo il modo di risolverlo, per lo meno ha senso, lo capisco