Dubbi su cilindro e vertice

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Dubbio 1

Se ho l'equazione di un cilindro, come faccio a dire se questo è parabolico, iperbolico o ellittico?
Per come so io devo secare il cilindro con il piano improprio (cioè metto a sistema l'equazione del cilindro in coordinate omogenee con \( \displaystyle {t}={0} \)).

A questo punto ottengo una conica, che sarà spezzata in due rette. Se queste rette sono reali e distinte allora il cilindro è iperbolico, se sono reali e coincidenti è parabolico, se sono immaginarie e coniugate è ellittico.

Esempio:

\( \displaystyle {c}:{{x}}^{{2}}+{2}{x}{y}+{{y}}^{{2}}-{2}{z}={0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)\{(x^2+2xy+y^2-2zt=0),(t=0):} rArr x^2+2xy+y^2=0 rArr (x+y)^2=0

In questo caso le due rette sono reali e coincidenti e il cilindro è un cilindro parabolico. Fin qui è corretto?

Ma come determino la natura, ad esempio, di questi cilindri?

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{3}{x}{y}+{{y}}^{{2}}+{{z}}^{{2}}+{1}={0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)x^2+y^2-2y=0


Dubbio 2
Data l'equazione di un cilindro o di un cono), come faccio a determinare il vertice? Ad esempio del cilindro dell'esempio precedente

\( \displaystyle {c}:{{x}}^{{2}}+{2}{x}{y}+{{y}}^{{2}}-{2}{z}={0}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{e}\partial{c}{o}{n}{o}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)x^2+y?2+2xz+2y+2z=0

Qui non ho proprio idea di come procedere >.>

Grazie

PS Scusate ho sbagliato sezione...la forza dell'abitudine XD Mod spostate please, grazie

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Sposto in Geometria e algebra lineare.[/mod]

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Forse ho risolvo sul secondo dubbio...per trovare il vertice devo risolvere il sistema omogeo associato alla matrice della quadrica che sto studiando?