Dubbio calcolo numerico

[ELWOOD]

Dovendo risolvere questo sistema di equazioni:

$350=h+(f_1*3000*Q_1^2)/(0,2*2gA_1^2) \ \ (1)$
$335=h+(f_2*5*Q_2^2)/(0,001*2gA_2^2) \ \ (2)$
$h=94+(f_3*10*Q_3^2)/(0,003*2gA_3^2) \ \ (3)$
$Q_1=Q_2+Q_3 \ \ (4)$

con
$f_1=0,024856$
$f_2=0,023404$
$f_3=0,026936$
$A_1=\frac{\pi*(0,2)^2}{4}=0,031416$
$A_2=\frac{\pi*(0,1)^2}{4}=0,007854$
$A_3=\frac{\pi*(0,3)^2}{4}=0,070696$

mediante l'ausilio di un calcolatore elettronico, nelle variabili $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$ e $h$

ottengo ovviamente 4 casistiche di risultati:

1.
$Q_1=-0,114436$
$Q_2=0,049524$
$Q_3=-0,064912$
$h=97,859212$

2.
$Q_1=-0,110067$
$Q_2=0,0475711$
$Q_3=-0,157578$
$h=116,742909$

3.
$Q_1=-0,110067$
$Q_2=-0,047511$
$Q_3=-0,157578$
$h=116,742909$

4.
$Q_1=0,114436$
$Q_2=-0,049524$
$Q_3=0,064912$
$h=97,859212$

Essendo $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$ delle portate devono essere positive, per cui sarei portato a tenere i risultati positivi, ma in questo caso in tutte le casistiche compare sempre perlomeno un risultato negativo, per questo non so quale quaterna di soluzioni considerare.

La soluzione corretta dovrebbe essere:

$Q_1=0,110067$
$Q_2=0,047511$
$Q_3=0,157578$
$h=116,742909$

ma non capisco come posso arrivarci senza sbagliarmi.

Vi ringrazio per le vostre delucidazioni.

[apatriarca]

Come hai risolto le equazioni?

[ELWOOD]

tramite la texas

[apatriarca]

Ma devi risolvere questo problema "a mano"? Pensavo dovessi implementare il tutto in un qualche programma.. Hai verificato che quei valori sono in effetti una soluzione?

[ELWOOD]

Si è un tema di fluidodinamica e posso utilizzare una calcolatrice programmabile, che mi possa servire a risolvere sistemi del genere.

Nelle soluzioni di questo problema riporta quella, che differisce per segno da quelle che mi fornisce la calcolatrice...

[apatriarca]

Prima di preoccuparti di risolverlo con la calcolatrice, come lo risolveresti a mano? Per prima cosa riscriverei l'equazione in forma un po' diversa. Definisco le costanti
\[ \alpha = \frac{3000\,f_1}{0.2\,2\,g\,A^2_1}, \quad \beta = \frac{5\,f_2}{0.001\,2\,g\,A^2_2}, \quad \gamma = \frac{10\,f_3}{0.003\,2\,g\,A^2_3} \]
a questo punto ottieni il sistema
\[ \begin{cases} 350 &= h + \alpha\,Q_1 \\ 335 &= h + \beta\,Q_2 \\ 94 &= -h + \gamma\,Q_3 \\ 0 &= - Q_1 + Q_2 + Q_3. \end{cases} \]
Sistema lineare che è abbastanza facile da risolvere. Non è quindi chiaro perché la tua calcolatrice debba restituire più di un risultato.

[ELWOOD]

Si ti chiedo umilmente scusa, ma ho modificato il post iniziale, le portate sono in forma quadratica.

[apatriarca]

La soluzione data dal tuo libro NON è soluzione del sistema che ci hai dato. L'ultima equazione non è infatti rispettata.

[ELWOOD]

A dir il vero il libro non da la soluzione di $h$ mentre da invece i risultati delle portate che sono pari a quelle che ho postato

[apatriarca]

Mi riferisco infatti all'equazione $Q_1 = Q_2 +Q_3$. Sostituendo i risultati che hai dato come correnti, la relazione non è vera.